Determine o valor de k que torna exata cada uma das seguintes EDO’s:
(2 x-y sen(x y)+k y^4) d x-(20 x y^3+x sen(x y)) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
l(2x - ysin(xy) + k y^4r),dx ;-;l(20x y^3 + xsin(xy)r),dy = 0
que podemos escrever como
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
com
M(x,y) = 2x - ysin(xy) + k y^4, N(x,y) = -,l(20x y^3 + xsin(xy)r)
Para que seja exata, precisamos de
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x

Passo 2

Calculemos partial Mpartial y.
M(x,y) = 2x - ysin(xy) + k y^4,
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partial Mpartial y = -sin(xy) - ycos(xy),partial(xy)partial y + 4k,y^3 = -sin(xy) - x ycos(xy) + 4k,y^3

Passo 3

Agora partial Npartial x.
N(x,y) = -20x y^3 - xsin(xy),
então
partial Npartial x = -20,y^3 -l[sin(xy) + xcos(xy),partial(xy)partial xr] = -20,y^3 - sin(xy) - x ycos(xy)

Passo 4

Impondo a condição de exatidão:
-sin(xy) - x ycos(xy) + 4k,y^3 ;=; -20,y^3 - sin(xy) - x ycos(xy)
Cancelando os termos iguais em ambos os lados, sobra
4k,y^3 = -20,y^3 Longrightarrow 4k = -20 Longrightarrow k = -5

Resposta

k = -5

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