Determine a solução para a seguinte equação diferencial ordinária:
d yd x+1(1-pi)[yx-3 x y^pi]=0, x>0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A gente precisa resolver a seguinte equação diferencial ordinária (EDO):
dydx + 11-pi[yx - 3x y^pi] = 0, x > 0
Esse tipo de equação pertence à categoria das equações de Bernoulli, que são um tipo especial de equação diferencial que podemos transformar em uma equação linear, facilitando a resolução. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais clara:
dydx = -11 - pi(yx - 3x y^pi)
Observamos que essa equação tem a forma:
dydx + P(x) y = Q(x) y^n
onde:
Isso confirma que estamos lidando com uma equação de Bernoulli.

Passo 3

Para resolver uma equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. A substituição que vamos usar é:
v = y^1 - pi
Agora, precisamos calcular a derivada de dvdx = (1 - pi) y^-pi dydx em relação a :

Passo 4

Vamos substituir dvdx = (1 - pi) y^-pi (-11 - pi(yx - 3x y^pi)) da equação original na expressão de dvdx = -1x v + 3x :
dvdx + 1x v = 3x
Simplificando os termos:
Agora, nossa equação está na forma linear:

Passo 5

Para resolver essa equação linear, vamos encontrar um fator integrante. O fator integrante mu(x) = e^integral 1x dx = e^ln x = x é dado por:
x dvdx + v = 3x^2
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
ddx(v cdot x) = 3x^2
A equação agora pode ser escrita como:
v cdot x = integral 3x^2 dx = x^3 + C
Integrando ambos os lados:
v = x^3 + Cx = x^2 + Cx
Onde é a constante de integração. Então, isolando :

Passo 6

Lembrando que fizemos a substituição y^1 - pi = x^2 + Cx , agora vamos retornar para y = (x^2 + Cx)^11 - pi :
Para isolar , elevamos ambos os lados à potência :

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
y(x) = (x^2 + Cx)^11 - pi
onde é uma constante arbitrária.

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