Determine a solução para a seguinte equação diferencial ordinária:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. A gente precisa resolver a seguinte equação diferencial ordinária (EDO):
Esse tipo de equação pertence à categoria das equações de Bernoulli, que são um tipo especial de equação diferencial que podemos transformar em uma equação linear, facilitando a resolução. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição que simplifica a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para deixá-la mais clara:
Observamos que essa equação tem a forma:
onde:
Isso confirma que estamos lidando com uma equação de Bernoulli.
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, a gente faz uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. A substituição que vamos usar é:
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Vamos substituir
da equação original na expressão de
:
Simplificando os termos:
Agora, nossa equação está na forma linear:
Passo 5
Para resolver essa equação linear, vamos encontrar um fator integrante. O fator integrante
é dado por:
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
A equação agora pode ser escrita como:
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Então, isolando
:
Passo 6
Lembrando que fizemos a substituição
, agora vamos retornar para
:
Para isolar
, elevamos ambos os lados à potência
:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
é uma constante arbitrária.