lim x 5(x^3-125x^2-25)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite: . Esse exercício está dentro do conteúdo de cálculo de limites, e para resolvê-lo, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente 5^3 - 1255^2 - 25 = 125 - 12525 - 25 = 00 na expressão para ver o que acontece:
Encontramos uma forma indeterminada , o que significa que precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Quando nos deparamos com uma forma indeterminada , uma estratégia comum é fatorar tanto o numerador quanto o denominador para cancelar fatores comuns. Vamos começar fatorando o numerador .

Passo 4

O numerador a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) é uma diferença de cubos, que pode ser fatorada usando a fórmula:
x^3 - 125 = (x - 5)(x^2 + 5x + 25)
Aqui, e , então:

Passo 5

Agora, vamos fatorar o denominador a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) . Isso é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada assim:
x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)
Aqui, e , então:

Passo 6

Substituindo as fatorações na expressão original, temos:
x^3 - 125x^2 - 25 = (x - 5)(x^2 + 5x + 25)(x - 5)(x + 5)
Agora, podemos cancelar o fator comum x^2 + 5x + 25x + 5 no numerador e no denominador:

Passo 7

Com a expressão simplificada, agora podemos calcular o limite substituindo lim x 5(x^2 + 5x + 25x + 5) = 5^2 + 5 times 5 + 255 + 5 = 25 + 25 + 2510 = 7510 = 152 :

Resposta

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