Resolver a seguinte integral:
integral 3 x^2+5 x(x-1)(x+1)^2 d x=2 ln (x-1)+ln (x+1)-1x+1+c

Passo 1

Resumo: o enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral 3 x^2 + 5 x(x-1)(x+1)^2,dx
O conteúdo envolvido é integração de funções racionais e vamos usar decomposição em frações parciais e as integrais básicas integral (x-a)^-1dx e integral (x-a)^-2dx.

Passo 2

Para decompor em frações parciais, escrevemos
3 x^2 + 5 x(x-1)(x+1)^2 = Ax-1 + Bx+1 + C(x+1)^2
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1)^2, obtemos
3 x^2 + 5 x = A (x+1)^2 + B (x-1)(x+1) + C (x-1)

Passo 3

Expandindo e agrupando termos:
A x^2 + 2A x + A + B x^2 - B + C x - C = (A+B)x^2 + (2A+C)x + (A - B - C)
Igualando aos coeficientes de 3x^2 + 5x + 0, formamos o sistema
A + B = 3, 2A + C = 5, A - B - C = 0
Resolvendo, achamos A=2, B=1, C=1.

Passo 4

Com os valores em mãos, a integral fica
integrall(2x-1 + 1x+1 + 1(x+1)^2r)dx
Agora integramos termo a termo:
integral 2x-1dx = 2ln|x-1|,
integral 1x+1dx = ln|x+1|,
integral 1(x+1)^2dx = integral (x+1)^-2dx = -1x+1

Passo 5

Reunindo esses resultados e acrescentando a constante de integração, chegamos à forma final da primitiva.

Resposta

2 \ln|x-1| + \ln|x+1| - \frac{1}{x+1} + C

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