Obtenha a solução explícita para o seguinte problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
E uma condição inicial que diz que quando
,
.
A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas. Precisamos verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial
cuja derivada total nos dá a equação original. Para isso, vamos precisar calcular derivadas parciais e usar condições de exatidão.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções
e
na equação diferencial:
Uma equação diferencial da forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Como
, a equação é exata.
Passo 4
Como a equação é exata, sabemos que existe uma função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Passo 5
Integrando termo a termo:
-
:
Vamos fazer uma substituição: seja
, então
. Assim:
Então, juntando os resultados:
Aqui,
é uma função arbitrária de
, já que ao integrar em relação a
, a constante de integração pode depender de
.
Passo 6
Agora, para encontrar
, vamos usar a condição de que
:
Sabemos que
. Então:
Isso implica que
, ou seja,
é uma constante. Podemos chamar essa constante de
.
Passo 7
Então, a função potencial
é:
Como a equação é igual a zero, temos:
Podemos escrever:
Passo 8
Agora, vamos aplicar a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Substituindo
e
na equação:
Simplificando:
Resposta
A solução explícita do problema de valor inicial é: