Obtenha a solução explícita para o seguinte problema de valor inicial:
l (y e^x y+cos x) d x+(x e^x y) d y=0 y(pi2)=0

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o problema está pedindo. Temos uma equação diferencial de primeira ordem:
(y e^x y + cos x) dx + (x e^x y) dy = 0
E uma condição inicial que diz que quando , .
A matéria que vamos usar aqui é sobre equações diferenciais exatas. Precisamos verificar se essa equação é exata e, se for, encontrar uma função potencial cuja derivada total nos dá a equação original. Para isso, vamos precisar calcular derivadas parciais e usar condições de exatidão.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções M(x, y) = y e^x y + cos x e N(x, y) = x e^x y na equação diferencial:
Uma equação diferencial da forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular essas derivadas.

Passo 3

Calculando partial Mpartial y = partialpartial y ( y e^x y + cos x ) = e^x y + y cdot x e^x y + 0 = e^x y (1 + x y) :
partial Npartial x = partialpartial x ( x e^x y ) = e^x y + x cdot y e^x y = e^x y (1 + x y)
Agora, calculando :
Como , a equação é exata.

Passo 4

Como a equação é exata, sabemos que existe uma função partial Fpartial x = M(x, y) = y e^x y + cos x tal que:
F(x, y) = integral ( y e^x y + cos x ) dx
Para encontrar , vamos integrar em relação a :

Passo 5

Integrando termo a termo:
  1. integral y e^x y dx = integral e^u du = e^u + C = e^x y + C :
Vamos fazer uma substituição: seja F(x, y) = e^x y + sin x + h(y) , então . Assim:
Então, juntando os resultados:
Aqui, é uma função arbitrária de , já que ao integrar em relação a , a constante de integração pode depender de .

Passo 6

Agora, para encontrar partial Fpartial y = partialpartial y ( e^x y + sin x + h(y) ) = x e^x y + h'(y) , vamos usar a condição de que x e^x y + h'(y) = x e^x y :
Sabemos que . Então:
Isso implica que , ou seja, é uma constante. Podemos chamar essa constante de .

Passo 7

Então, a função potencial F(x, y) = e^x y + sin x + C é:
F(x, y) = constante
Como a equação é igual a zero, temos:
e^x y + sin x = C
Podemos escrever:

Passo 8

Agora, vamos aplicar a condição inicial e^pi2 cdot 0 + sin(pi2) = C para encontrar o valor de e^0 + 1 = C Rightarrow 1 + 1 = C Rightarrow C = 2 :
Substituindo e na equação:
Simplificando:

Resposta

A solução explícita do problema de valor inicial é:
e^x y + sin x = 2

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