Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial e descreva o comportamento da solução quando t infty
y^prime prime+5 y^prime-14 y=0 com y(0)=6, y^prime(0)=-6.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 5y' - 14y = 0
com condições
y(0)=6, y'(0)=-6
O conteúdo é EDO linear homogênea com coeficientes constantes e vamos usar o método da equação característica.\n

Passo 2

Formamos a equação característica associada à EDO:
r^2 + 5r - 14 = 0\n

Passo 3

Resolvendo
r = -5 pm raiz5^2 - 4cdot1cdot(-14)2 = -5 pm raiz25 + 562 = -5 pm 92,
obtém-se as raízes
r1 = 2, r2 = -7
Portanto a solução geral é
y(t) = C1 e^2t + C2 e^-7t\n

Passo 4

Derivando a solução geral temos
y'(t) = 2C1 e^2t ;-; 7C2 e^-7t
Aplicando as condições iniciais em t=0:
y(0)=C1 + C2 = 6, y'(0)=2C1 - 7C2 = -6
Resolvendo esse sistema, obtemos
C2 = 2, C1 = 4\n

Passo 5

Substituindo C1 e C2 na solução geral, vem
y(t) = 4e^2t + 2e^-7t
Quando t to infty, o termo 4e^2t domina e cresce sem limite, logo
y(t)to +infty\n

Resposta

y(t) = 4e^2t + 2e^-7t, e y(t)to +infty quando ttoinfty

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