Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial e descreva o comportamento da solução quando t infty
y^prime prime+6 y^prime+18 y=0 com y(0)=5, y^prime(0)=-21.

Passo 1

Temos o problema de valor inicial dado por
y'' + 6y' + 18y = 0, y(0)=5, y'(0)=-21
O conteúdo aqui é equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos (1) montar a equação característica, (2) obter as raízes, (3) escrever a solução geral, (4) aplicar as condições iniciais e (5) analisar o comportamento quando ttoinfty.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada a
y'' + 6y' + 18y = 0
que é
r^2 + 6r + 18 = 0
Calculamos o discriminante: De<a = 6^2 - 4cdot1cdot18 = 36 - 72 = -36. Logo as raízes são complexas conjugadas:
r = -6 pm raiz-362 = -3 pm 3,i

Passo 3

Para raízes r = alpha pm ibeta com alpha=-3 e beta=3, a solução geral é
y(t) = e^alpha tl(Ccos(beta t) + Dsin(beta t)r) = e^-3tl(Ccos(3t) + Dsin(3t)r)

Passo 4

Usamos as condições iniciais para determinar C e D. Em t=0:
y(0)=C=5
Derivando y(t):
y'(t)=e^-3tl((3D-3C)cos(3t)-3(C+D)sin(3t)r)
Em t=0 obtemos
y'(0)=3(D-C)=-21 Longrightarrow D-C=-7 Longrightarrow D=5-7=-2
Logo a solução particular é
y(t)=e^-3tl(5cos(3t)-2sin(3t)r)

Passo 5

Como há o fator e^-3t multiplicando funções oscilatórias, à medida que ttoinfty o termo exponencial domina e faz y(t)to0. Assim, a solução decai exponencialmente com oscilações amortecidas.

Resposta

y(t)=e^-3tl(5cos(3t)-2sin(3t)r),
e limttoinftyy(t)=0.

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