Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial e descreva o comportamento da solução quando
.
Passo 1
Temos o problema de valor inicial dado por
O conteúdo aqui é equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos (1) montar a equação característica, (2) obter as raízes, (3) escrever a solução geral, (4) aplicar as condições iniciais e (5) analisar o comportamento quando
.
Passo 2
Escrevemos a equação característica associada a
que é
Calculamos o discriminante:
. Logo as raízes são complexas conjugadas:
Passo 3
Para raízes
com
e
, a solução geral é
Passo 4
Usamos as condições iniciais para determinar
e
. Em
:
Derivando
:
Em
obtemos
Logo a solução particular é
Passo 5
Como há o fator
multiplicando funções oscilatórias, à medida que
o termo exponencial domina e faz
. Assim, a solução decai exponencialmente com oscilações amortecidas.
Resposta
e
.