Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial e descreva o comportamento da solução quando
?
com
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
com
e
.
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante constante. Vamos usar o método clássico de solução geral igual à soma da solução homogênea e de uma solução particular.
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante constante. Vamos usar o método clássico de solução geral igual à soma da solução homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro achamos a solução homogênea
. A equação característica é
O discriminante é
, logo as raízes são
Portanto
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
. Como o forçamento é constante, tentamos
. Substituindo na EDO dá
Passo 4
A solução geral é
Usamos as condições iniciais:
- Em
:
- Calculamos
. Derivando :
Em
:
Como
, segue
e portanto
Logo
Passo 5
Para estudar
, note que o termo exponencial
tende a zero. Logo a solução tende ao valor constante da particular:
Resposta
e
quando
.