Determine a solução dos seguintes problemas de valor inicial e descreva o comportamento da solução quando t infty ?
y^prime prime+6 y^prime+18 y=10 com y(0)=5, y^prime(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 6y' + 18y = 10,
com y(0)=5 e y'(0)=0.
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo forçante constante. Vamos usar o método clássico de solução geral igual à soma da solução homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro achamos a solução homogênea yh. A equação característica é
r^2 + 6r + 18 = 0
O discriminante é De<a = 6^2 - 4cdot1cdot18 = -36, logo as raízes são
r = -3 pm 3i
Portanto
yh(t) = e^-3tl(Acos(3t) + Bsin(3t)r)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp. Como o forçamento é constante, tentamos yp=C. Substituindo na EDO dá
0 + 0 + 18C = 10 Longrightarrow C = 1018 = 59

Passo 4

A solução geral é
y(t) = yh(t) + yp = e^-3tl(Acos(3t) + Bsin(3t)r) + 59
Usamos as condições iniciais:
  1. Em t=0:
y(0) = A + 0 + 59 = 5 Longrightarrow A = 5 - 59 = 409
  1. Calculamos y'(t). Derivando yh:
yh'(t) = e^-3tl(-3Acos3t -3Bsin3tr) + e^-3tl(-3Asin3t +3Bcos3tr) = e^-3tl[(3B-3A)cos3t -3(A+B)sin3tr]
Em t=0:
y'(0) = (3B - 3A)cdot1 + 0 = 3(B - A)
Como y'(0)=0, segue B - A = 0 e portanto
B = A = 409
Logo
y(t) = 409e^-3tl(cos3t + sin3tr) + 59

Passo 5

Para estudar ttoinfty, note que o termo exponencial e^-3t tende a zero. Logo a solução tende ao valor constante da particular:
limttoinftyy(t) = 59

Resposta

y(t) = 409e^-3tl(cos3t + sin3tr) + 59,
e y(t)to tfrac59 quando ttoinfty.

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