Considere um sistema massa-mola com constantes m=14, b=0, k=1, uma força externa F(t)=sin (alpha t) e condições iniciais y(0)=1, y^prime(0)=A, com alpha, A in R. Determine alguns valores para alpha e A tais que
(a) y(10)=1.
(b) y(10)>1.
(c) y(10)<1.

Passo 1

O enunciado trata de um oscilador massa-mola sem amortecimento com m=tfrac14, b=0, k=1, força externa F(t)=sin(alpha t) e condições iniciais y(0)=1, y'(0)=A. Vamos encontrar a solução geral de
tfrac14,y'' + y = sin(alpha t),
aplicar as condições iniciais e depois escolher valores de alpha e A que garantam y(10)=1, y(10)>1 ou y(10)<1.

Passo 2

Multiplicando a equação por 4, fica
y'' + 4,y = 4sin(alpha t)
A solução geral é soma da homogênea e de uma particular. A homogênea é
yh(t) = Ccos(2t) + Dsin(2t)
Como forçante sin(alpha t), buscamos yp(t)=Psin(alpha t). Substituindo em y''+4y=4sin(alpha t)
-alpha^2 Psin(alpha t) + 4Psin(alpha t) = 4sin(alpha t),
logo
P = 44-alpha^2,
e
yp(t) = 44-alpha^2,sin(alpha t),
válido para alphaneq pm2.

Passo 3

A solução completa é
y(t) = Ccos(2t) + Dsin(2t) + 44-alpha^2,sin(alpha t)
Impondo y(0)=1 e y'(0)=A:
y(0)=C + 0 + 0 = 1 Rightarrow C=1
Derivando,
y'(t) = -2Csin(2t) + 2Dcos(2t) + 4alpha4-alpha^2cos(alpha t),
logo em t=0
y'(0)=0 + 2D + 4alpha4-alpha^2 = A Rightarrow D = A - tfrac4alpha4-alpha^22

Passo 4

Agora
y(10) = cos(20) + sin(20),D + 44-alpha^2,sin(10alpha)
Substituindo D fica
y(10) = cos(20) + sin(20),A - tfrac4alpha4-alpha^22 + 44-alpha^2,sin(10alpha)
Para fixar ideias, vamos escolher alpha=1 (que não é ressonante).

Passo 5

Com alpha=1 temos tfrac44-alpha^2=tfrac43, de modo que
y(10) = cos(20) + sin(20)2l(A - tfrac43r) + 43sin(10)
Impondo y(10)=1, resolvemos para A:
A = 1 - cos(20) + tfrac43,tfracsin(20)2 - tfrac43sin(10) tfracsin(20)2 approx 4,22
Logo, uma escolha que garante y(10)=1 é
boxedalpha=1, Aapprox 4,22

Passo 6

Observe que em alpha=1 a expressão de y(10) varia linearmente com A e coeficiente tfracsin(20)2>0.
Para ter y(10)>1, basta escolher A>4,22; por exemplo:
boxedalpha=1, A=5 Rightarrow y(10)>1
Para ter y(10)<1, basta A<4,22; por exemplo:
boxedalpha=1, A=2 Rightarrow y(10)<1

Resposta

(a) alpha=1,;Aapprox4,22.
(b) alpha=1,;A=5.
(c) alpha=1,;A=2.

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