Considere um sistema massa-mola com constantes
, uma força externa
e condições iniciais
, com
. Determine alguns valores para
e
tais que
(a)
.
(b)
.
(c)
.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado trata de um oscilador massa-mola sem amortecimento com
,
,
, força externa
e condições iniciais
,
. Vamos encontrar a solução geral de
aplicar as condições iniciais e depois escolher valores de
e
que garantam
,
ou
.
Passo 2
Multiplicando a equação por 4, fica
A solução geral é soma da homogênea e de uma particular. A homogênea é
Como forçante
, buscamos
. Substituindo em
dá
logo
e
válido para
.
Passo 3
A solução completa é
Impondo
e
:
Derivando,
logo em
Passo 4
Agora
Substituindo
fica
Para fixar ideias, vamos escolher
(que não é ressonante).
Passo 5
Com
temos
, de modo que
Impondo
, resolvemos para
:
Logo, uma escolha que garante
é
Passo 6
Observe que em
a expressão de
varia linearmente com
e coeficiente
.
Para ter , basta escolher
; por exemplo:
Para ter
Para ter
, basta
; por exemplo:
Resposta
(a)
.
(b)
.
(c)
.