Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
com
O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes e força externa em trechos. Como as condições iniciais são zero, podemos usar a fórmula de Duhamel (convolução com a resposta ao impulso):
pois
é a resposta ao impulso de
com
.
Passo 2
Para
temos
para todo
. Logo
Façamos a mudança de variável
, de modo que, quando
,
, e quando
,
. Então
Portanto, para
,
Passo 3
Para
, dividimos a integral em dois trechos:
Passo 4
Calculemos primeiro
Usando a mesma técnica do passo anterior ou reconhecendo que
vemos que
Passo 5
Agora calculemos
Façamos a mudança de variável
, de modo que
e, quando
,
; quando
,
. Então
Separemos em duas parcelas:
Com
, obtemos
Passo 6
Somando
, temos
Agrupando os termos que envolvem
, nota-se que eles se cancelam exatamente, restando
Esse resultado é contínuo em
e satisfaz as condições de contorno.
Resposta
Para o problema de valor inicial dado,