Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y=f(t) \y(0)=0 \y^{\prime}(0)=0\end{array} \quad f(t)=\left\{\begin{array}{l}2, \quad 0 \leq t<3 \\\ 3 t-7, \quad t \geq 3\end{array}\right.\right.

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial
\begin{cases} y''+y=f(t),\\\ y(0)=0,\;y'(0)=0, \end{cases}
com
f(t)= \begin{cases} 2,&0\le t<3,\\\\ 3t-7,&t\ge3. \end{cases}
O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes e força externa em trechos. Como as condições iniciais são zero, podemos usar a fórmula de Duhamel (convolução com a resposta ao impulso):
y(t)=\int_{0}^{t}\sin\bigl(t-\tau\bigr)\,f(\tau)\,d\tau,
pois \sin t é a resposta ao impulso de y''+y=0 com y(0)=0,\;y'(0)=1.

Passo 2

Para 0\le t<3 temos f(\tau)=2 para todo \tau\in[0,t]. Logo
y(t) =2\int_{0}^{t}\sin\bigl(t-\tau\bigr)\,d\tau.
Façamos a mudança de variável u=t-\tau, de modo que, quando \tau=0, u=t, e quando \tau=t, u=0. Então
\int_{0}^{t}\sin(t-\tau)\,d\tau =\int_{u=t}^{u=0}\sin u\;(-du) =\int_{0}^{t}\sin u\,du =1-\cos t.
Portanto, para 0\le t<3,
y(t)=2\bigl(1-\cos t\bigr).

Passo 3

Para t\ge3, dividimos a integral em dois trechos:
y(t) =\int_{0}^{3}2\,\sin(t-\tau)\,d\tau +\int_{3}^{t}(3\tau-7)\,\sin\bigl(t-\tau\bigr)\,d\tau \equiv I_{1}+I_{2}.

Passo 4

Calculemos primeiro
I_{1} =2\int_{0}^{3}\sin(t-\tau)\,d\tau.
Usando a mesma técnica do passo anterior ou reconhecendo que
\int_{0}^{3}\sin(t-\tau)\,d\tau =\bigl[\!-\cos(t-\tau)\bigr]_{\tau=0}^{\tau=3} =\cos(t-3)-\cos t,
vemos que
I_{1}=2\bigl(\cos(t-3)-\cos t\bigr).

Passo 5

Agora calculemos
I_{2} =\int_{3}^{t}(3\tau-7)\,\sin\bigl(t-\tau\bigr)\,d\tau.
Façamos a mudança de variável u=t-\tau, de modo que \tau=t-u e, quando \tau=3, u=t-3; quando \tau=t, u=0. Então
I_{2} =\int_{u=t-3}^{0}\bigl(3(t-u)-7\bigr)\sin u\;(-du) =\int_{0}^{\,t-3}\bigl(3t-3u-7\bigr)\sin u\,du.
Separemos em duas parcelas:
\int_{0}^{a}(3t-7)\sin u\,du =(3t-7)\bigl(1-\cos a\bigr),
\int_{0}^{a}3u\sin u\,du =3\bigl(\sin a - a\cos a\bigr) \quad\text{(por integração por partes).}çã
Com a=t-3, obtemos
I_{2} =(3t-7)\bigl[1-\cos(t-3)\bigr] -3\bigl[\sin(t-3)-(t-3)\cos(t-3)\bigr].

Passo 6

Somando I_{1}+I_{2}, temos
y(t) =2\bigl[\cos(t-3)-\cos t\bigr] +(3t-7)\bigl[1-\cos(t-3)\bigr] -3\sin(t-3)+3(t-3)\cos(t-3).
Agrupando os termos que envolvem \cos(t-3), nota-se que eles se cancelam exatamente, restando
y(t)=3t-7-3\sin\!\bigl(t-3\bigr)-2\cos t.
Esse resultado é contínuo em t=3 e satisfaz as condições de contorno.

Resposta

Para o problema de valor inicial dado,
y(t)= \begin{cases} 2\bigl(1-\cos t\bigr),&0\le t<3,\\\\ 3t-7-3\sin\!\bigl(t-3\bigr)-2\cos t,&t\ge3. \end{cases}

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