Determine as transformadas de Laplace das funções definidas pelas seguintes expressões analíticas:
f(t)=t^{3} e^{-t}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=t^{3}e^{-t}.
O conteúdo é a definição da transformada de Laplace e a integral
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt.

Passo 2

Aplicando a definição, temos
\mathcal{L}\{t^{3}e^{-t}\}(s) =\int_{0}^{\infty}t^{3}e^{-t}\,e^{-st}\,dt =\int_{0}^{\infty}t^{3}e^{-(s+1)t}\,dt.

Passo 3

Recordando que, para \Re(a)>0,
\int_{0}^{\infty}t^{n}e^{-a t}\,dt=\frac{n!}{a^{n+1}},
aqui n=3 e a=s+1.

Passo 4

Logo,
\mathcal{L}\{t^{3}e^{-t}\}(s) =\frac{3!}{(s+1)^{4}} =\frac{6}{(s+1)^{4}},
válido para \Re(s+1)>0, isto é, \Re(s)>-1.

Resposta

\mathcal{L}\{t^{3}e^{-t}\}(s)=\frac{6}{(s+1)^{4}},\quad \Re(s)>-1.

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