Determine a solução dos seguintes problemas de valores iniciais:
\left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+13 y=\delta_{\pi}(t)+\delta_{3 \pi}(t) \y(0)=1 \y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

Temos o problema de valores iniciais
\begin{cases} y''+4y'+13y=\delta_{\pi}(t)+\delta_{3\pi}(t),\\\ y(0)=1,\quad y'(0)=0, \end{cases}
que é uma EDO linear de segunda ordem com forças impulsivas em t=\pi e t=3\pi. Vamos decompor a solução em duas partes: a solução homogênea sujeita às condições iniciais e a resposta a cada delta usando a função de resposta ao impulso.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a equação homogênea
y''+4y'+13y=0.
O polinômio característico é
r^2+4r+13=(r+2)^2+3^2=0\implies r=-2\pm3i.
Logo a solução geral homogênea é
y_h(t)=e^{-2t}\bigl(C_1\cos3t+C_2\sin3t\bigr).
Impondo y_h(0)=1 e y_h'(0)=0, obtemos
C_1=1,\quad y_h'(t)=e^{-2t}\bigl((-2C_1+3C_2)\cos3t+(-2C_2-3C_1)\sin3t\bigr),
em t=0 -2\cdot1+3C_2=0\Rightarrow C_2=2/3.
Portanto,
\boxed{y_h(t)=e^{-2t}\Bigl(\cos3t+\tfrac23\sin3t\Bigr).}

Passo 3

Agora achamos a função de resposta ao impulso h(t), que satisfaz
h''+4h'+13h=\delta(t),\quad h(0^-)=0,\;h'(0^-)=0.
Pela transformada de Laplace,
H(s)=\frac1{s^2+4s+13}=\frac1{(s+2)^2+9}
e a antitransformada leva a
\boxed{h(t)=\frac{1}{3}e^{-2t}\sin3t\,,\quad t\ge0.}

Passo 4

Pela superposição, a solução do PV inicial com os dois impulsos é
y(t)=y_h(t)+\int_{0}^{t}h(t-s)\bigl[\delta(s-\pi)+\delta(s-3\pi)\bigr]\,ds =y_h(t)+h(t-\pi)\,H(t-\pi)+h(t-3\pi)\,H(t-3\pi),
onde H é a função de Heaviside. Substituindo h,
\boxed{ y(t)=e^{-2t}\Bigl(\cos3t+\tfrac23\sin3t\Bigr) +\frac{1}{3}e^{-2(t-\pi)}\sin\bigl(3(t-\pi)\bigr)\,H(t-\pi) +\frac{1}{3}e^{-2(t-3\pi)}\sin\bigl(3(t-3\pi)\bigr)\,H(t-3\pi). }

Resposta

y(t)=e^{-2t}\Bigl(\cos3t+\tfrac23\sin3t\Bigr) +\frac{1}{3}e^{-2(t-\pi)}\sin\bigl(3(t-\pi)\bigr)\,H(t-\pi) +\frac{1}{3}e^{-2(t-3\pi)}\sin\bigl(3(t-3\pi)\bigr)\,H(t-3\pi).

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