Determine a solução dos seguintes PVI’s:
y^prime prime+y=0 tal que y(0)=1+y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y'' + y = 0
com a condição
y(0)=2, 1 + y'(0)=2implies y'(0)=1
O conteúdo é EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos usar a equação característica.

Passo 2

Escrevendo a equação característica associada:
r^2 + 1 = 0
suas raízes são r = pm i. Logo, a solução geral é
y(x) = Acos x + Bsin x

Passo 3

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(x) = -Asin x + Bcos x

Passo 4

Em x=0 temos
y(0) = A = 2,
y'(0) = B = 1
Portanto A=2 e B=1.

Passo 5

Substituindo A e B na solução geral, obtemos
y(x) = 2cos x + sin x

Resposta

y(x) = 2cos x + sin x

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