Encontre uma segunda solução linearmente independente da solução dada:
y^prime prime-4 x y^prime+(4 x^2-2) y=0 ; y1(x)=e^x^2

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem
y''-4x,y'+l(4x^2-2r)y=0
e informa uma solução conhecida y1(x)=e^x^2.
O que vamos usar aqui é o método de redução de ordem, que permite obter uma segunda solução linearmente independente a partir de y1.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão
y''+P(x),y'+Q(x),y=0,
comparando com a original vemos que
P(x)=-4x, Q(x)=4x^2-2

Passo 3

No método de redução de ordem definimos
R(x)=expl(-integral P(x),dxr)
para reescrever a segunda solução como
y2(x)=y1(x)integral R(x)y1(x)^2,dx

Passo 4

Calculando R(x):
R(x)=expl(-integral -4x,dxr) =expl(2x^2r)
Logo o integrando fica
R(x)y1(x)^2 =e^2x^2l(e^x^2r)^2 =1

Passo 5

Integrando o integrando constante e multiplicando por y1:
integral 1,dx = x,
y2(x)=e^x^2cdot x = x,e^x^2

Resposta

A segunda solução linearmente independente é
y2(x)=x,e^x^2

Exercícios relacionados