Determine a solução dos seguintes PVI’s:
y^prime prime-3 y^prime+2 y=0 tal que y(0)=0 e y^prime(0)=2

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y'' - 3,y' + 2,y = 0
com as condições iniciais
y(0)=0, y'(0)=2
O conteúdo aqui é equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, montamos a equação característica, encontramos suas raízes e escrevemos a solução geral.

Passo 2

A equação característica associada é
r^2 - 3r + 2 = 0
Resolvendo-a, temos
r = 3 pm raiz9 - 82 = 3 pm 12,
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r1 = 1, r2 = 2

Passo 3

Como as raízes são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x = C1 e^x + C2 e^2x

Passo 4

Calculamos a derivada première:
y'(x) = C1 e^x + 2,C2 e^2x

Passo 5

Aplicamos as condições iniciais em x=0:
- de y(0)=0 vem
C1 + C2 = 0;
- de y'(0)=2 vem
C1 + 2,C2 = 2
Subtraindo a primeira da segunda:
(C1+2C2)-(C1+C2)=2-0 ;Longrightarrow;C2=2,
e daí C1=-C2=-2.

Passo 6

Substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular:
y(x) = -2,e^x + 2,e^2x

Resposta

y(x) = -2,e^x + 2,e^2x

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