Encontre a derivada das funções usando a definição:
f(x)=e^2 x.

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=e^2x usando a definição de derivada via limite. Vamos precisar da fórmula
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
e de uma propriedade fundamental do exponencial, que é
limuto0e^u-1u=1

Passo 2

Aplicamos a definição de derivada a f(x)=e^2x. Substituindo na fórmula, obtemos
f'(x)=limhto0e^2(x+h)-e^2xh

Passo 3

Fatoramos e^2x no numerador para simplificar o quociente:
f'(x) =limhto0e^2xl(e^2h-1r)h =e^2x,limhto0e^2h-1h
Para avaliar limhto0e^2h-1h, fazemos a mudança de variável u=2h, de modo que quando hto0 temos uto0. Então
limhto0e^2h-1h =limuto0e^u-1ucdotuh =1cdot2 =2

Passo 4

Substituindo esse resultado, chegamos a
f'(x) = e^2x cdot 2 = 2 e^2x

Resposta

f'(x)=2e^2x

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