Determine as solução do sistema abaixo, com 5 dígitos significativos exatos:
\left\{\begin{array}{l} 3 x-4 y+5 z=22 \\\ x+4 y+5 z=10 \\\ (x-2)^{2}+(y+2)^{2}=z+5 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para determinar as soluções do sistema
\left\{\begin{array}{l} 3x-4y+5z=22,\\[4pt] x+4y+5z=10,\\[4pt] (x-2)^{2}+(y+2)^{2}=z+5. \end{array}\right.
Informações dadas (lista das equações que vou usar):
  • Equação (1): 3x-4y+5z=22.
  • Equação (2): x+4y+5z=10.
  • Equação (3): (x-2)^{2}+(y+2)^{2}=z+5.
O que é pedido: encontrar todos os pares (x,y,z) reais que satisfazem as três equações simultaneamente, e fornecer cada solução com 5 dígitos significativos exatos.]

Passo 2

Estratégia básica (apenas declarando, sem ainda calcular): como as duas primeiras equações são lineares em x,y,z, é natural usar-as para eliminar incógnitas e expressar x e y em função de z. Depois substituo essas expressões na terceira equação (não linear), ficando com uma equação apenas em z (uma quadrática). Resolvo essa quadrática e recupero x e y.

Passo 3

Resolver as equações lineares (1) e (2) para x e y em função de z.
Somando (1) e (2):
(3x-4y+5z)+(x+4y+5z)=22+10,
ou seja
4x+10z=32.
Daí isolamos x:
x=\dfrac{32-10z}{4}=8-\dfrac{5}{2}z.
Subtraindo (2) de (1):
(3x-4y+5z)-(x+4y+5z)=22-10,
resultando em
2x-8y=12.
Dividindo por 2:
x-4y=6 \quad\Rightarrow\quad x=6+4y.
Igualando as duas expressões para x:
6+4y=8-\dfrac{5}{2}z.
Isolando y:
4y=2-\dfrac{5}{2}z \quad\Rightarrow\quad y=\dfrac{2}{4}-\dfrac{5}{8}z=\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{8}z.
Conferindo x com essa y:
x=6+4y=6+4\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{8}z\right)=6+2-\dfrac{20}{8}z=8-\dfrac{5}{2}z,
o que é consistente com a expressão encontrada antes.
Resumo:
x=8-\dfrac{5}{2}z,\qquad y=\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{8}z.

Passo 4

Substituir x e y em função de z na terceira equação e obter uma equação só em z.
Calculemos os termos:
x-2=\left(8-\dfrac{5}{2}z\right)-2=6-\dfrac{5}{2}z=\dfrac{12-5z}{2},
y+2=\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{8}z\right)+2=\dfrac{5}{2}-\dfrac{5}{8}z=\dfrac{20-5z}{8}.
Agora
(x-2)^{2}=(6-\tfrac{5}{2}z)^{2}=36-30z+\tfrac{25}{4}z^{2},
(y+2)^{2}=(\tfrac{5}{2}-\tfrac{5}{8}z)^{2}=\tfrac{25}{4}-\tfrac{25}{8}z+\tfrac{25}{64}z^{2}.
Somando:
(x-2)^{2}+(y+2)^{2}= \left(36+\tfrac{25}{4}\right) +\left(-30-\tfrac{25}{8}\right)z +\left(\tfrac{25}{4}+\tfrac{25}{64}\right)z^{2}.
Simplificando os coeficientes (fazendo em frações para exatidão):
36+\tfrac{25}{4}=\tfrac{144+25}{4}=\tfrac{169}{4},
-30-\tfrac{25}{8}=-\dfrac{240+25}{8}=-\dfrac{265}{8},
\tfrac{25}{4}+\tfrac{25}{64}=\dfrac{400+25}{64}=\dfrac{425}{64}.
Portanto a terceira equação fica
\dfrac{425}{64}z^{2}-\dfrac{265}{8}z+\dfrac{169}{4}=z+5.
Passar tudo para o lado esquerdo:
\dfrac{425}{64}z^{2}-\dfrac{265}{8}z - z +\dfrac{169}{4}-5=0.
\dfrac{425}{64}z^{2}-\dfrac{273}{8}z+\dfrac{149}{4}=0.
Multiplicando ambos os lados por 64 para eliminar denominadores:
425 z^{2}-2184 z+2384=0.

Passo 5

Resolver a quadrática
425 z^{2}-2184 z+2384=0
usando a fórmula quadrática. Primeiro o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(-2184)^{2}-4\cdot425\cdot2384.
Calculando:
(-2184)^{2}=4{,}769{,}856, \qquad 4\cdot425\cdot2384=4{,}052{,}800,
\Delta=4{,}769{,}856-4{,}052{,}800=717{,}056.
Fatorando 717{,}056=256\cdot2801, obtemos
\sqrt{\Delta}=16\sqrt{2801}.
Aplicando a fórmula:
z=\dfrac{2184\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot425}=\dfrac{2184\pm16\sqrt{2801}}{850}.
Agora precisamos dos valores numéricos. Aproximação de \sqrt{2801}: \sqrt{2801}\approx52{,}9244746. Então
\sqrt{\Delta}=16\cdot52{,}9244746\approx846{,}7915936.
Assim as duas raízes são
z_{1}=\dfrac{2184+846{,}7915936}{850}\approx\dfrac{3030{,}7915936}{850}\approx3{,}56563717,
z_{2}=\dfrac{2184-846{,}7915936}{850}\approx\dfrac{1337{,}2084064}{850}\approx1{,}57318636.

Passo 6

Calcular x e y correspondentes a cada z usando
x=8-\dfrac{5}{2}z,\qquad y=\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{8}z.
Para z_{1}\approx3{,}56563717:
x_{1}=8-\dfrac{5}{2}\cdot3{,}56563717\approx8-8{,}914092925\approx-0{,}914092925,
y_{1}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{8}\cdot3{,}56563717\approx0{,}5-2{,}228523231\approx-1{,}728523231.
Para z_{2}\approx1{,}57318636:
x_{2}=8-\dfrac{5}{2}\cdot1{,}57318636\approx8-3{,}9329659\approx4{,}0670341,
y_{2}=\dfrac{1}{2}-\dfrac{5}{8}\cdot1{,}57318636\approx0{,}5-0{,}983241475\approx-0{,}483241475.

Passo 7

Arredondamento para 5 dígitos significativos. Regra: contar cinco primeiras cifras significativas (ignorando o sinal) e arredondar com base na sexta cifra.
Para a primeira solução:
z_{1}\approx3{,}56563717\longrightarrow z_{1}=3{,}5656\quad(\text{5 dígitos significativos}),í
x_{1}\approx-0{,}914092925\longrightarrow x_{1}=-0{,}91409,
y_{1}\approx-1{,}728523231\longrightarrow y_{1}=-1{,}7285.
Para a segunda solução:
z_{2}\approx1{,}57318636\longrightarrow z_{2}=1{,}5732,
x_{2}\approx4{,}0670341\longrightarrow x_{2}=4{,}0670\quad(\text{o zero é significativo}),é
y_{2}\approx-0{,}483241475\longrightarrow y_{2}=-0{,}48324.

Resposta

(x,y,z)=\left(-0{,}91409,\,-1{,}7285,\,3{,}5656\right)
(x,y,z)=\left(4{,}0670,\,-0{,}48324,\,1{,}5732\right)

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