A velocidade v de um paraquedista em queda é dada por:
v=\frac{g m}{c}\left(1-e^{-(c / m) t}\right)
onde g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Para um paraquedista com um coeficiente de arrasto c=15 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, determine a massa m tal que a velocidade seja de v=35 m / s no tempo t=9 s. Utilize o método Regula Falsi para determinar m com um erro relativo menor que 0.1 \%.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a massa m (em kg) de um paraquedista tal que a velocidade
v=\frac{g m}{c}\left(1-e^{-(c / m) t}\right)
assuma o valor v=35\\ \mathrm{m/s} no tempo t=9\\ \mathrm{s}, usando g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e c=15\\ \mathrm{kg/s}, e aplicando o método Regula Falsi até erro relativo menor que 0{,}1\%.
Informações dadas:
g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
c=15\\ \mathrm{kg/s}.
t=9\\ \mathrm{s}.
v_{\text{alvo}}=35\\ \mathrm{m/s}.
O que preciso encontrar:
A massa m>0 que satisfaz a equação acima para os valores dados.
Passo 2
Preparar a equação a ser resolvida como uma raiz de uma função. Substituindo os valores conhecidos definimos a função
pois (c/m)t=(15/m)\cdot 9=135/m. Nosso objetivo é achar m>0 tal que f(m)=0.
Explicação didática rápida: a função f(m) calcula a velocidade prevista para uma massa m e subtrai 35. Raiz de f significa que a velocidade prevista é exatamente 35. O fator (1-e^{-135/m}) varia entre 0 (quando m muito pequeno?) e 1 (quando o expoente é muito negativo), mas o comportamento é controlado por m dentro do exponencial.
Passo 3
Escolher um intervalo inicial [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos (condição para aplicar Regula Falsi). Testes rápidos:
Este erro relativo já é menor que 0{,}1\% (critério pedido). Portanto podemos parar e aceitar m_3 como aproximação satisfatória.
Comentário didático: o Regula Falsi tende a manter um dos extremos fixo quando a função é assimétrica, mas como o passo 2 e 3 mostraram, as aproximações convergiram rapidamente aqui; usamos o erro relativo entre iterações sucessivas como critério de parada, que é uma prática comum em métodos numéricos.