A velocidade v de um paraquedista em queda é dada por:
v=\frac{g m}{c}\left(1-e^{-(c / m) t}\right)
onde g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Para um paraquedista com um coeficiente de arrasto c=15 \mathrm{~kg} / \mathrm{s}, determine a massa m tal que a velocidade seja de v=35 m / s no tempo t=9 s. Utilize o método Regula Falsi para determinar m com um erro relativo menor que 0.1 \%.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a massa m (em kg) de um paraquedista tal que a velocidade
v=\frac{g m}{c}\left(1-e^{-(c / m) t}\right)
assuma o valor v=35\\ \mathrm{m/s} no tempo t=9\\ \mathrm{s}, usando g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} e c=15\\ \mathrm{kg/s}, e aplicando o método Regula Falsi até erro relativo menor que 0{,}1\%.
Informações dadas:
  • g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}.
  • c=15\\ \mathrm{kg/s}.
  • t=9\\ \mathrm{s}.
  • v_{\text{alvo}}=35\\ \mathrm{m/s}.
O que preciso encontrar:
  • A massa m>0 que satisfaz a equação acima para os valores dados.

Passo 2

Preparar a equação a ser resolvida como uma raiz de uma função. Substituindo os valores conhecidos definimos a função
f(m)=\frac{g m}{c}\Bigl(1-e^{-(c/m)t}\Bigr)-v_{\text{alvo}}.
Escrevendo os números:
f(m)=\frac{9{,}8}{15}\,m\Bigl(1-e^{-135/m}\Bigr)-35,
pois (c/m)t=(15/m)\cdot 9=135/m. Nosso objetivo é achar m>0 tal que f(m)=0.
Explicação didática rápida: a função f(m) calcula a velocidade prevista para uma massa m e subtrai 35. Raiz de f significa que a velocidade prevista é exatamente 35. O fator (1-e^{-135/m}) varia entre 0 (quando m muito pequeno?) e 1 (quando o expoente é muito negativo), mas o comportamento é controlado por m dentro do exponencial.

Passo 3

Escolher um intervalo inicial [a,b] com f(a) e f(b) de sinais opostos (condição para aplicar Regula Falsi). Testes rápidos:
Calcular f(50):
\text{expoente}=-\frac{135}{50}=-2{,}7,\qquad e^{-2{,}7}\approx 0{,}0672055,
1-e^{-2{,}7}\approx 0{,}9327945,\qquad \frac{9{,}8}{15}\cdot 50\approx 32{,}6667,
f(50)\approx 32{,}6667\cdot 0{,}9327945-35\approx -4{,}5287.
Calcular f(70):
\text{expoente}=-\frac{135}{70}\approx -1{,}92857,\qquad e^{-1{,}92857}\approx 0{,}1456,
1-e^{-1{,}92857}\approx 0{,}8544,\qquad \frac{9{,}8}{15}\cdot 70\approx 45{,}7333,
f(70)\approx 45{,}7333\cdot 0{,}8544-35\approx 4{,}07.
Conclusão: f(50)\approx -4{,}5287<0 e f(70)\approx 4{,}07>0. Logo existe pelo menos uma raiz em [50,70]. Vamos aplicar Regula Falsi nesse intervalo.

Passo 4

Apresentação do método Regula Falsi (fórmula e critério de parada):
  • Regula Falsi (falsa posição) gera nova aproximação m_{\text{new}} por
m_{\text{new}}=b-\;f(b)\frac{b-a}{f(b)-f(a)},
quando a e b são os extremos do intervalo atual com f(a) e f(b) de sinais opostos.
  • Após calcular m_{\text{new}} avaliamos f(m_{\text{new}}). Substituímos o extremo cujo sinal de f coincide com f(m_{\text{new}}) por m_{\text{new}}.
  • Critério de parada usado: erro relativo aproximado entre duas últimas aproximações
\text{ER}=\left|\frac{m_{\text{new}}-m_{\text{old}}}{m_{\text{new}}}\right|
parar quando \text{ER}<0{,}001 (ou seja 0{,}1\%).
Vou executar as iterações e mostrar os cálculos numéricos arredondados de forma didática.

Passo 5

Iteração 1:
  • Dados iniciais: a=50, f(a)\approx -4{,}5287134; b=70, f(b)\approx 4{,}07.
  • Aplicando Regula Falsi:
m_1 = 70 - 4{,}07\cdot\frac{70-50}{4{,}07-(-4{,}5287134)}.
Cálculo numérico (arredondado nas etapas):
\text{denom}\approx 4{,}07+4{,}5287134\approx 8{,}5987, \qquad \text{frac}=\frac{4{,}07\cdot 20}{8{,}5987}\approx 9{,}462,
m_1\approx 70-9{,}462\approx 60{,}538.
Avaliar f(60{,}538):
\text{expoente}=-\frac{135}{60{,}538}\approx -2{,}2315,\quad e^{-2{,}2315}\approx 0{,}1078,
1-e^{-2{,}2315}\approx 0{,}8922,\quad \frac{9{,}8}{15}\cdot 60{,}538\approx 39{,}51,
f(60{,}538)\approx 39{,}51\cdot 0{,}8922 -35\approx 0{,}29.
Como f(60{,}538)>0, o novo intervalo fica [50,\,60{,}538].

Passo 6

Iteração 2:
  • Agora a=50, f(a)\approx -4{,}5287134; b=60{,}538, f(b)\approx 0{,}29.
  • Regula Falsi:
m_2 = 60{,}538 - 0{,}29\cdot\frac{60{,}538-50}{0{,}29-(-4{,}5287134)}.
Cálculo numérico:
\text{denom}\approx 0{,}29+4{,}5287134\approx 4{,}8187, \qquad \text{frac}=\frac{0{,}29\cdot 10{,}538}{4{,}8187}\approx 0{,}633,
m_2\approx 60{,}538-0{,}633\approx 59{,}905.
Avaliar f(59{,}905):
\text{expoente}=-\frac{135}{59{,}905}\approx -2{,}2526,\quad e^{-2{,}2526}\approx 0{,}1053,
1-e^{-2{,}2526}\approx 0{,}8947,\quad \frac{9{,}8}{15}\cdot 59{,}905\approx 39{,}14,
f(59{,}905)\approx 39{,}14\cdot 0{,}8947 -35\approx 0{,}016.
Como f(59{,}905)>0, o novo intervalo fica [50,\,59{,}905].

Passo 7

Verificação de erro entre as últimas aproximações:
\text{ER}_{1\to2}=\left|\frac{59{,}905-60{,}538}{59{,}905}\right|\approx \frac{0{,}633}{59{,}905}\approx 0{,}0106\quad(1{,}06\%),
ainda maior que 0{,}1\%. Continuamos.

Passo 8

Iteração 3:
  • Agora a=50, f(a)\approx -4{,}5287134; b=59{,}905, f(b)\approx 0{,}016.
  • Regula Falsi:
m_3 = 59{,}905 - 0{,}016\cdot\frac{59{,}905-50}{0{,}016-(-4{,}5287134)}.
Cálculo numérico:
\text{denom}\approx 0{,}016+4{,}5287134\approx 4{,}5447, \qquad \text{frac}=\frac{0{,}016\cdot 9{,}905}{4{,}5447}\approx 0{,}0347,
m_3\approx 59{,}905-0{,}0347\approx 59{,}8703.
Avaliar f(59{,}8703):
\text{expoente}=-\frac{135}{59{,}8703}\approx -2{,}2549,\quad e^{-2{,}2549}\approx 0{,}1049,
1-e^{-2{,}2549}\approx 0{,}8951,\quad \frac{9{,}8}{15}\cdot 59{,}8703\approx 39{,}12,
f(59{,}8703)\approx 39{,}12\cdot 0{,}8951 -35\approx 0{,}010\\ \text{(aprox.)}.

Passo 9

Calcular o erro relativo entre m_3 e m_2:
\text{ER}_{2\to3}=\left|\frac{59{,}8703-59{,}905}{59{,}8703}\right|\approx \frac{0{,}0347}{59{,}8703}\approx 0{,}000579\approx 0{,}0579\%.
Este erro relativo já é menor que 0{,}1\% (critério pedido). Portanto podemos parar e aceitar m_3 como aproximação satisfatória.
Comentário didático: o Regula Falsi tende a manter um dos extremos fixo quando a função é assimétrica, mas como o passo 2 e 3 mostraram, as aproximações convergiram rapidamente aqui; usamos o erro relativo entre iterações sucessivas como critério de parada, que é uma prática comum em métodos numéricos.

Resposta

m\approx 59{,}87\\ \mathrm{kg}

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