Determine a solução do sistema:
l d xd t=x-4 y d yd t=2 x+y
com x(0)=0 e y(0)=1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver um sistema linear de EDOs de primeira ordem com condições iniciais. O conteúdo é sistemas lineares e autovalores, e vamos precisar de teoria de matrizes (forma matricial), de hipóteses sobre soluções com autovalores complexos e de condições iniciais.

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial. Definimos o vetor X(t)=x(t)y(t) e a matriz de coeficientes A=1 & -42 & 1, de modo que temos X'(t)=AX(t).

Passo 3

Para encontrar o comportamento geral, calculamos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=(1-lambda)^2-(-4)cdot2=(1-lambda)^2+8=0
Isso leva a (1-lambda)^2=-8 e logo aos autovalores
lambda=1pm2raiz2,i

Passo 4

Como os autovalores são complexos conjugados alphapm iomega com alpha=1 e omega=2raiz2, a solução geral do sistema é da forma
X(t)=e^alpha tl(C1vrcos(omega t)+C2vrsin(omega t)r),
mas é mais direto obter uma EDO de segunda ordem só para x(t).

Passo 5

Derivamos a primeira equação para obter uma equação apenas em x. Da primeira equação x'=x-4y, temos
x''=x'-4y'=x'-4(2x+y)=x'-8x-4y
Substituindo y=(x-x')/4 (da primeira equação), chegamos a
x''-2x'+9x=0,
cuja equação característica é r^2-2r+9=0.

Passo 6

Resolvendo r^2-2r+9=0 encontramos r=1pm2raiz2,i. Logo a solução geral para x(t) é
x(t)=e^tl(Acos(2raiz2,t)+Bsin(2raiz2,t)r)

Passo 7

Usamos as condições iniciais para achar A e B. Da condição x(0)=0 temos
0=x(0)=A
Para encontrar B, usamos x'(0)=x(0)-4y(0)=-4. Por outro lado,
x'(t)=e^tl(Acos(2raiz2t)+Bsin(2raiz2t)r) +e^tl(-2raiz2,Asin(2raiz2t)+2raiz2,Bcos(2raiz2t)r)
Avaliando em t=0 e usando A=0
-4=x'(0)=2raiz2,B
logo B=-42raiz2=-raiz2. Assim
x(t)=-raiz2,e^tsin(2raiz2,t)

Passo 8

Finalmente, obtemos y(t) da relação x'=x-4y, ou seja y=(x-x')/4. Substituindo x(t) e sua derivada e simplificando, chega-se a
y(t)=e^tcos(2raiz2,t)

Passo 9

Juntando os resultados, a solução do sistema com as condições iniciais é dada por
boxedx(t)=-raiz2,e^tsin(2raiz2,t), y(t)=e^tcos(2raiz2,t)

Resposta

x(t)=-\sqrt2,et\sin\bigl(2\sqrt2,t\bigr),;y(t)=et\cos\bigl(2\sqrt2,t\bigr)

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