Determine a solução do sistema:
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver um sistema linear de EDOs de primeira ordem com condições iniciais. O conteúdo é sistemas lineares e autovalores, e vamos precisar de teoria de matrizes (forma matricial), de hipóteses sobre soluções com autovalores complexos e de condições iniciais.
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial. Definimos o vetor
e a matriz de coeficientes
, de modo que temos
.
Passo 3
Para encontrar o comportamento geral, calculamos o polinômio característico de
:
Isso leva a
e logo aos autovalores
Passo 4
Como os autovalores são complexos conjugados
com
e
, a solução geral do sistema é da forma
mas é mais direto obter uma EDO de segunda ordem só para
.
Passo 5
Derivamos a primeira equação para obter uma equação apenas em
. Da primeira equação
, temos
Substituindo
(da primeira equação), chegamos a
cuja equação característica é
.
Passo 6
Resolvendo
encontramos
. Logo a solução geral para
é
Passo 7
Usamos as condições iniciais para achar
e
. Da condição
temos
Para encontrar
, usamos
. Por outro lado,
Avaliando em
e usando
dá
logo
. Assim
Passo 8
Finalmente, obtemos
da relação
, ou seja
. Substituindo
e sua derivada e simplificando, chega-se a
Passo 9
Juntando os resultados, a solução do sistema com as condições iniciais é dada por
Resposta
x(t)=-\sqrt2,et\sin\bigl(2\sqrt2,t\bigr),;y(t)=et\cos\bigl(2\sqrt2,t\bigr)