Resolva o sistema de equações diferenciais dado por:
com as condições iniciais x1(0)=1, x2(0)=0, e x3(0)=0.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um sistema de equações diferenciais que descreve como as variáveis $ x_1 $, $ x_2 $ e $ x_3 $ mudam ao longo do tempo. A matriz que multiplica o vetor $ x1 $ é triangular superior, o que facilita nossa vida na hora de resolver. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre sistemas lineares de equações diferenciais e como resolver cada equação passo a passo quando a matriz é triangular.
Passo 2
Primeiro, olhamos para a última equação do sistema, que é a mais simples de resolver por ser independente das outras variáveis. A equação para $ x_3 $ é:
x3
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolvê-la, podemos separar as variáveis:
dx3dt = 4x3
Integrando ambos os lados, temos:
dx3x3 = 4,dt
Onde $ C $ é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
ln|x3| = 4t + C
Agora, aplicamos a condição inicial $ x_3(0) = 0 $:
C
Então:
x3(t) = Ce^4t
Passo 3
Agora, vamos para a equação de $ x_2 $:
x2
Sabemos que $ x_3(t) = 0 $, então a equação simplifica para:
dx2dt = 3x2 + x3
Novamente, é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Separando as variáveis:
x3(t) = 0
Integrando ambos os lados:
dx2dt = 3x2
Exponenciando:
dx2x2 = 3,dt
Aplicando a condição inicial $ x_2(0) = 0 $:
ln|x2| = 3t + C
Portanto:
x2(t) = Ce^3t
Passo 4
Por último, resolvemos a equação para $ x_1 $:
x1
Como $ x_2(t) = 0 $, a equação se simplifica para: