Exercícios com Transformada de Laplace.
Utilize a transformada de Laplace para resolver:
y^prime prime(t)+3 y^prime(t)+2 y(t)=de
onde y(0)=0 e y^prime(0)=0.

Passo 1

O exercício dá a equação diferencial
y''(t) + 3y'(t) + 2y(t) = de
com condições iniciais y(0)=0 e y'(0)=0. Vamos usar transformada de Laplace, a propriedade da transformada do impulso e o teorema do deslocamento no tempo para achar y(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que
Ly''(t) = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0), Ly'(t) = sY(s) - y(0), Ly(t) = Y(s),
e também
Lde
Como as condições iniciais são zero, ficamos com
(s^2 + 3s + 2),Y(s) = e^-s

Passo 3

Isolamos Y(s) e fazemos frações parciais:
Y(s) = e^-s(s+1)(s+2)
Queremos decompor
1(s+1)(s+2) = As+1 + Bs+2,
onde
A(s+2) + B(s+1) = 1
Definindo s=-1 A=1 e s=-2 B=-1.

Passo 4

Substituindo A e (B)\ temos
Y(s) = e^-sl(1s+1 - 1s+2r)

Passo 5

Invertendo primeiro a parte sem o fator e^-s: sabemos que
L^-1tfrac1s+1 = e^-t, L^-1tfrac1s+2 = e^-2t
Logo a função sem deslocamento é f(t)=e^-t-e^-2t. Pelo teorema do deslocamento no tempo, o termo e^-s desloca essa resposta para a direita em 1 unidade e multiplica por u(t-1).

Resposta

y(t)=l(e^-(t-1) - e^-2(t-1)r),u(t-1).

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