Resolva o sistema de equações diferenciais:
dd t[l x1 x2 x3 ]=[ccc 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -6 & -11 & -6 ][l x1 x2 x3 ]
com as condições iniciais x1(0)=1, x2(0)=0, x3(0)=0.

Passo 1

O sistema dado é dot x(t)=A,x(t) com
A=0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 -6 & -11 & -6, x(0)=100
Isso é um sistema linear de coeficientes constantes do tipo “companion matrix”, então a primeira componente x1(t) satisfaz uma EDO de terceira ordem. Vamos usar isso para resolver.

Passo 2

Da definição de A, temos
x1' = x2, x2' = x3, x3' = -6x1 -11x2 -6x3
Derivando a primeira equação duas vezes e eliminando x2, x3, obtém-se a EDO
x1''' +6x1'' +11x1' +6x1 = 0

Passo 3

A equação característica é
r^3 +6r^2 +11r +6 = 0
Fatorando, vemos que
r^3 +6r^2 +11r +6 = (r+1)(r+2)(r+3),
logo as raízes são r=-1,-2,-3.

Passo 4

A solução geral da EDO é
$$x_1(t) = c_1 e^{-t} + c_2 e^{-2t} + c_3 e^{-3t}.
$$
Como x1(t) = c1 e^-t + c2 e^-2t + c3 e^-3t e x2 = x1', usamos as condições iniciais x3 = x1'' para achar os coeficientes.

Passo 5

Impondo as condições iniciais:
c1 + c2 + c3 = 1, -c1 -2c2 -3c3 = 0, c1 +4c2 +9c3 = 0
Resolvendo esse sistema, obtemos
c1 = 3, c2 = -3, c3 = 1

Passo 6

Com esses coeficientes, concluímos:
x1(t) = 3e^-t - 3e^-2t + e^-3t,
x2(t) = x1'(t) = -3e^-t +6e^-2t -3e^-3t,
x3(t) = x1''(t) = 3e^-t -12e^-2t +9e^-3t

Resposta

x(t)=l(x1(t),x2(t),x3(t)r)^T com
x1(t)=3e^-t-3e^-2t+e^-3t,
x2(t)=-3e^-t+6e^-2t-3e^-3t,
$$x_3(t)=3e{-t}-12e{-2t}+9e^{-3t}.
$$

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