Determine a solução para:
y^prime prime prime+2 y^prime=x^2, y(0)=1, y^prime(0)=0, y^prime prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede pra gente resolver a EDO linear de terceira ordem com coeficientes constantes \ y’’’ + 2y’ = x^2 \ sujeita às condições iniciais y(0)=1, y’(0)=0 e y’’(0)=1. O conteúdo principal é resolução de EDOs lineares por soma da solução homogênea e de uma particular.

Passo 2

Pra achar a solução homogênea, montamos a equação característica r^3 + 2r = 0, que fatoriza em r(r^2 + 2)=0. As raízes são r=0 e r=± i√2. Isso dá a solução homogênea \ y_h = C_1 + C_2\cos(\sqrt2,x) + C_3\sin(\sqrt2,x).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular usando coeficientes indeterminados. Como o lado direito é um polinômio de grau 2, tentamos \ y_p = Ax^3 + Bx^2 + Cx + D. \ Calculando derivadas e montando y_p’’’ + 2y_p’ obtemos:
$$ y_p’’’ + 2y_p’ = 6Ax^2 + (6A + 4B)x + 2C. $$
Igualando a x^2, vemos que 6A=1, 6A+4B=0 e 2C=0, logo A=1/6, B=-1/4 e C=0. O termo D é absorvido na parte homogênea, então podemos tomar D=0.

Passo 4

Juntando y_h e y_p, temos y = C_1 + C_2\cos(\sqrt2 x) + C_3\sin(\sqrt2 x) + \tfrac{x^3}{6} - \tfrac{x^2}{4}. Agora aplicamos as condições iniciais:
$ y(0)=C1 + C2 = 1, y'(0)=C3raiz2 = 0, y''(0) = -2C2 - tfrac12 = 1
Dessas equações vem C_3=0, C_2=-3/4 e C_1=7/4.

Resposta

$ y(x)=74 - 34cosl(raiz2,xr) + x^36 - x^24

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