Encontre uma solução em série para:
y^prime prime+(x^2-1) y=0, y(0)=1, y^prime(0)=0

Passo 1

A EDO é y''+(x^2-1)y=0 com y(0)=1 e y'(0)=0. O conteúdo é série de potências em torno de x=0: vamos supor uma solução y(x)=sumn=0^infty anx^n e usar as condições iniciais para determinar os coeficientes.

Passo 2

Supondo y(x)=sumn=0^infty anx^n, temos
y''(x)=sumn=2^infty n(n-1)anx^n-2=sumk=0^infty (k+2)(k+1)ak+2x^k,
x^2y(x)=sumn=0^infty anx^n+2=sumk=2^infty ak-2x^k=sumk=0^infty ak-2x^k,
e
y(x)=sumk=0^infty akx^k

Passo 3

Substituindo em y''+x^2y-y=0 e igualando coeficientes de x^k a zero obtém-se a recorrência
(k+2)(k+1)ak+2+ak-2-ak=0, k>=0,
onde adotamos a-2=a-1=0.

Passo 4

Pelas condições iniciais temos a0=y(0)=1 e a1=y'(0)=0.
Para k=0: 2cdot1,a2 -a0=0 a2=tfrac12.
Para k=1: 3cdot2,a3 -a1=0 a3=0.
Para k>=2 a fórmula geral é
ak+2=ak-ak-2(k+2)(k+1)

Passo 5

Usando essa recorrência achamos os próximos coeficientes pares:
a4=a2-a04cdot3=-tfrac124,
a6=a4-a26cdot5=-tfrac13720,
a8=a6-a48cdot7=tfrac1740320,
e todos os a2m+1=0.

Resposta

A solução em série é
y(x)=1+tfrac12x^2-tfrac124x^4-tfrac13720x^6+tfrac1740320x^8+cdots,
com recorrência geral para os coeficientes pares
a2(m+1)=a2m-a2(m-1)(2m+2)(2m+1), a0=1, a2=tfrac12

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