Seja
a parte da superfície
onde
. Calcule o fluxo de
para fora através de
reduzindo a integral de superfície para uma integral dupla sobre o disco
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície S definida por $ z = xy $ com $ x^2 + y^2 < 1 $. Queremos calcular o fluxo do campo vetorial $ \vec{F} = \langle y, x, z \rangle $ para fora através dessa superfície. Para facilitar, vamos transformar essa integral de superfície em uma integral dupla sobre o disco $ x^2 + y^2 < 1 $. Para isso, vamos usar o Teorema de Gauss (ou Divergência), que nos ajuda a converter integrais de superfície em integrais duplas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanto do campo passa através da superfície. Matematicamente, é dado por:
onde $ \vec{n} $ é o vetor normal à superfície.
Passo 3
Como estamos usando o Teorema de Gauss, precisamos calcular a divergência do campo vetorial $ \vec{F} $. A divergência é dada por:
Vamos calcular cada termo:
Então, a divergência é:
Passo 4
Agora, pelo Teorema de Gauss, o fluxo através de S é igual à integral dupla da divergência sobre a região D limitada por S. No nosso caso, D é o disco $ x^2 + y^2 < 1 $. Então:
Passo 5
A integral dupla de 1 sobre D é simplesmente a área de D. Já que D é um círculo de raio 1, a área é:
Resposta
O fluxo de $ \vec{F} = \langle y, x, z \rangle $ para fora através de S é igual a $ \pi $.