Seja S a parte da superfície z=x y onde x^2+y^2<1. Calcule o fluxo de F=lang<= y, x, zrang<= para fora através de S reduzindo a integral de superfície para uma integral dupla sobre o disco x^2+y^2<1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície S definida por $ z = xy $ com $ x^2 + y^2 < 1 $. Queremos calcular o fluxo do campo vetorial $ \vec{F} = \langle y, x, z \rangle $ para fora através dessa superfície. Para facilitar, vamos transformar essa integral de superfície em uma integral dupla sobre o disco $ x^2 + y^2 < 1 $. Para isso, vamos usar o Teorema de Gauss (ou Divergência), que nos ajuda a converter integrais de superfície em integrais duplas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície. O fluxo mede quanto do campo passa através da superfície. Matematicamente, é dado por:
integral duplaS F cdot n , dS
onde $ \vec{n} $ é o vetor normal à superfície.

Passo 3

Como estamos usando o Teorema de Gauss, precisamos calcular a divergência do campo vetorial $ \vec{F} $. A divergência é dada por:
F
Vamos calcular cada termo:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
partial Fxpartial x = partial ypartial x = 0
partial Fypartial y = partial xpartial y = 0
Então, a divergência é:
partial Fzpartial z = partial zpartial z = 1

Passo 4

Agora, pelo Teorema de Gauss, o fluxo através de S é igual à integral dupla da divergência sobre a região D limitada por S. No nosso caso, D é o disco $ x^2 + y^2 < 1 $. Então:
x^2 + y^2 < 1

Passo 5

A integral dupla de 1 sobre D é simplesmente a área de D. Já que D é um círculo de raio 1, a área é:
Área = pi r^2 = pi (1)^2 = pi Á

Resposta

O fluxo de $ \vec{F} = \langle y, x, z \rangle $ para fora através de S é igual a $ \pi $.

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