Determine a solução
y^prime=5 x-3 y3 x+2 y

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem \r
dydx = 5x - 3y3x + 2y \r
Aqui reconhecemos que o lado direito é uma função homogênea de grau zero em x,y, pois é formado por combinações lineares de x e y. Para resolver, vamos usar a substituição padrão para equações homogêneas: \r
;y = u x,dydx = u + xdudx

Passo 2

Substituindo y = ux em dydx = 5x - 3y3x + 2y obtemos \r
u + xdudx = 5x - 3(ux)3x + 2(ux) = 5 - 3u3 + 2u \r
Reagrupando para isolar dudx, vem \r
xdudx = 5 - 3u3 + 2u - u = 5 - 3u - u(3 + 2u)3 + 2u = 5 - 6u - 2u^23 + 2u

Passo 3

Podemos fatorar o numerador como \r
5 - 6u - 2u^2 = -2,(u - u1)(u - u2), \r
onde\r
u1 = -3 + raiz192, u2 = -3 - raiz192 \r
Logo a equação para u fica separável: \r
xdudx = -2,(u - u1)(u - u2)3 + 2u \r
Isto é\r
3 + 2u(u - u1)(u - u2),du = -2,dxx

Passo 4

Fazendo frações parciais em 3+2u(u - u1)(u - u2) obtemos \r
3+2u(u - u1)(u - u2) = 1u - u1 + 1u - u2 \r
Então a integral fica \r
integral gl(1u - u1 + 1u - u2gr),du = integral -2,dxx, \r
isto é \r
ln!l|u - u1r| + ln!l|u - u2r| = -2ln|x| + C \r
Combinando logaritmos:\r
ln!l|(u - u1)(u - u2)r| = ln!l|x^-2r| + C ;Longrightarrow; (u - u1)(u - u2) = K,x^-2, \r
onde K=e^C é constante arbitrária.

Passo 5

Voltando a u = y/x, temos \r
l(yx - u1r)l(yx - u2r) = K,x^-2, \r
ou seja \r
(y - u1x)(y - u2x) = K \r
Como u1+u2=-3 e u1u2=-tfrac52, expandindo dá \r
y^2 - (u1+u2),xy + u1u2,x^2 = y^2 + 3xy - tfrac52x^2 = K

Resposta

A solução implícita geral é \r
boxedy^2 + 3xy - 52,x^2 = C, \r
onde C é constante arbitrária.

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