Determine a solução y(t) da equação diferencial
doty(t)+3 y(t)=cos (2 t), y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem doty(t)+3y(t)=cos(2t) com condição inicial y(0)=0. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante mu(t)=e^integral 3,dt=e^3t. Multiplicamos a equação original por mu(t):
e^3tdoty(t)+3e^3ty(t)=e^3tcos(2t)

Passo 3

Observamos que o lado esquerdo é a derivada de mu(t)y(t), ou seja ddt[e^3ty(t)]=e^3tcos(2t).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddt[e^3ty(t)],dt = integral e^3tcos(2t),dt
No lado direito usamos a fórmula integral e^atcos(bt),dt = e^ata^2+b^2(acos(bt)+bsin(bt)) + C. Com a=3 e b=2 obtemos
integral e^3tcos(2t),dt = e^3t13l(3cos(2t)+2sin(2t)r)+C

Passo 5

Assim,
e^3ty(t)= e^3t13l(3cos(2t)+2sin(2t)r)+C
Dividindo por e^3t chegamos à solução geral
y(t)=3cos(2t)+2sin(2t)13 + C e^-3t

Passo 6

Aplicamos a condição inicial y(0)=0:
0 = 3cos(0)+2sin(0)13 + C = 313+C,
daí C=-tfrac313.

Passo 7

Substituindo C na solução geral, obtemos
y(t)=3cos(2t)+2sin(2t)13 - 313e^-3t

Resposta

y(t)=3cos(2t)+2sin(2t)13 - 313e^-3t

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