Determine a soluçõ de cado um dos seguintes problemas de valor inicial:
ly^prime prime+4 y= 1, & 0 <= t<4 0, & t >= 4 y(0)=3 y^prime(0)=-2

Passo 1

O enunciado dá um problema de valor inicial para a EDO
y''+4y=f(t),
onde
f(t)=1,&0<= t<4,0,&t>=4,
com condições iniciais y(0)=3 e y'(0)=-2.
O conteúdo é resolução de EDO linear de 2.º ordem com forçamento em trechos. Vamos achar a solução em dois intervalos: 0<= t<4 e t>=4, usando a solução geral da homogênea e uma partícular constante para 0<= t<4, e depois impondo continuidade de y e y' em t=4.

Passo 2

Para 0<= t<4, temos
y''+4y=1
A solução geral é
y1(t)=yh+yp,
onde
yh(t)=Acos2t+Bsin2t
e buscamos yp constante: se yp=C então 4C=1, ou seja C=tfrac14.
Logo
y1(t)=Acos2t+Bsin2t+tfrac14
Aplicamos y(0)=3:
y1(0)=A+tfrac14=3 implies A=tfrac114
E y1'(t)=-2Asin2t+2Bcos2t, de onde
y1'(0)=2B=-2 implies B=-1
Portanto, para 0<= t<4,
boxedy(t)=114cos2t-sin2t+14

Passo 3

Para t>=4, o forçamento some e ficamos com a homogênea
y''+4y=0,
cuja solução geral é
y2(t)=Ccos2t+Dsin2t
Para determinar C,D, impomos continuidade de y e y' em t=4.
Primeiro, avaliamos y1(4) e y1'(4).
y1(4)=114cos8-sin8+14,
y1'(t)=-112sin2t-2cos2t Longrightarrow y1'(4)=-112sin8-2cos8
Daí
y2(4)=Ccos8+Dsin8 =114cos8-sin8+14,
y2'(4)=-2Csin8+2Dcos8 =-112sin8-2cos8
Resolvendo esse sistema para C,D (matriz de rotação com determinante 1), encontra-se
C=114+14cos8, D=-1+14sin8
Uma forma mais enxuta usa a identidade de ângulo:
cos8cos2t+sin8sin2t=cos(2t-8).
Assim, para t>=4,
y2(t) =l(114+14cos8r)cos2t +l(-1+14sin8r)sin2t =114cos2t-sin2t+14cos!(2t-8)

Resposta

Para 0<= t<4:
boxedy(t)=114cos2t-sin2t+14
Para t>=4:
boxedy(t)=114cos2t-sin2t+14cosl(2t-8r)

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