Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando
. Verifique se a solução
é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear pelo método matricial de autovalores e autovetores, estudar o comportamento das soluções quando
, classificar o ponto de equilíbrio
e esboçar a família de trajetórias do sistema
O que precisaremos é a matriz do sistema, seus autovalores, autovetores, solução geral e então analisar o sinal dos autovalores.
Passo 2
Escrevemos o sistema como
com
Calculamos o polinômio característico
:
As raízes são
Passo 3
Para cada
achamos um autovetor
.
. Se
, resolvemos
:
Passo 4
A solução geral do sistema é
onde
são constantes fixadas pelas condições iniciais.]
Passo 5
Como ambos os autovalores são negativos,
e
, temos
As soluções decaem exponencialmente, mais rápido na componente associada a
.
Passo 6
Autovalores reais, distintos e de mesmo sinal (negativos) caracterizam um nó estável. Logo,
é um ponto de equilíbrio estável do tipo nó próprio.
Passo 7
Esboço qualitativo:
— As direções próprias no plano são as retas geradas por e
.
— Próximo à origem as trajetórias tangenciam essas retas e, conforme cresce, aproximam-se do nó
.
— Como é menos negativo que
, as soluções alinham-se cada vez mais com
ao se aproximarem da origem.
— As direções próprias no plano são as retas geradas por
— Próximo à origem as trajetórias tangenciam essas retas e, conforme
— Como
Resposta
A solução geral é
com
.
O equilíbrio é um nó estável.
O esboço mostra trajetórias que partem de várias condições iniciais e convergem ao nó, tangenciando primeiro a reta e finalmente alinhando-se a
.]
O equilíbrio
O esboço mostra trajetórias que partem de várias condições iniciais e convergem ao nó, tangenciando primeiro a reta