Resolva pelo método matricial (dos autovalores e autovetores). Descreva o comportamento das soluções quando t longrightarrow+infty. Verifique se a solução x(t)=(x1(t), x2(t))=(0,0) é ponto de equilíbrio estável ou instável, verificando se é sela, nó, foco (espiral) ou centro. Faça um esboço da família das soluções:
l x1^prime=x1-2 x2 x2^prime=3 x1-4 x2

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear pelo método matricial de autovalores e autovetores, estudar o comportamento das soluções quando tto+infty, classificar o ponto de equilíbrio vec x=(0,0) e esboçar a família de trajetórias do sistema
x1' = x1 - 2x2, x2' = 3x1 - 4x2
O que precisaremos é a matriz do sistema, seus autovalores, autovetores, solução geral e então analisar o sinal dos autovalores.

Passo 2

Escrevemos o sistema como x' = Ax com
A = 1 & -2 [6pt] 3 & -4
Calculamos o polinômio característico det(A - lambda I)=0:
det!l(1-lambda & -2 [3pt] 3 & -4-lambdar) = (1-lambda)(-4-lambda)-(-2)cdot3 = lambda^2 + 3lambda + 2 = 0
As raízes são
lambda1 = -1, lambda2 = -2 ]

Passo 3

Para cada lambdai achamos um autovetor vi.
1. Se lambda1=-1, resolvemos (A+I)v=0:
2 & -2 [3pt] 3 & -3v=0 ;Longrightarrow;v1=(1,1)
2. Se lambda2=-2, resolvemos (A+2I)v=0:
3 & -2 [3pt] 3 & -2v=0 ;Longrightarrow;v2=(2,3) ]

Passo 4

A solução geral do sistema é
x(t) = C1,e^-t1 [3pt] 1 + C2,e^-2t2 [3pt] 3,
onde C1,C2 são constantes fixadas pelas condições iniciais.]

Passo 5

Como ambos os autovalores são negativos, lambda1=-1 e lambda2=-2, temos
limtto+inftyvec x(t) = vec 0
As soluções decaem exponencialmente, mais rápido na componente associada a lambda2=-2.

Passo 6

Autovalores reais, distintos e de mesmo sinal (negativos) caracterizam um nó estável. Logo, (0,0) é um ponto de equilíbrio estável do tipo nó próprio.

Passo 7

Esboço qualitativo:
— As direções próprias no plano são as retas geradas por v1=(1,1) e v2=(2,3).
— Próximo à origem as trajetórias tangenciam essas retas e, conforme t cresce, aproximam-se do nó (0,0).
— Como lambda1=-1 é menos negativo que lambda2=-2, as soluções alinham-se cada vez mais com v1 ao se aproximarem da origem.

Resposta

A solução geral é
x(t) = C1,e^-t1 [3pt] 1 + C2,e^-2t2 [3pt] 3,
com limtto+inftyx(t)=0.
O equilíbrio (0,0) é um nó estável.
O esboço mostra trajetórias que partem de várias condições iniciais e convergem ao nó, tangenciando primeiro a reta spanv2 e finalmente alinhando-se a spanv1.]

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