Determine as soluções das Equações diferenciais abaixo:
y^{\prime}=\frac{y}{x^{2}+x}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial
y'=\frac{y}{x^{2}+x}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A incógnita é a função y(x) dependente da variável x.
  • O termo do denominador pode ser fatorado: x^{2}+x=x(x+1).
  • Portanto há pontos singulares em x=0 e x=-1 (onde o denominador some).
  • Devemos encontrar todas as soluções y(x) (incluindo a possível solução identicamente nula) e indicar onde elas são válidas.

Passo 2

Escolhemos separar variáveis porque a equação permite isolar y e x em lados distintos: se y não é identicamente zero, podemos dividir por y e reescrever a EDO como
\frac{y'}{y}=\frac{1}{x^{2}+x}.
Explicando o método de separação de variáveis, passo a passo: queremos obter algo do tipo \text{(função de }y)\,dy = \text{(função de }x)\,dxçãçã. Como y'=\dfrac{dy}{dx}, temos
\frac{1}{y}\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x(x+1)}.
Multiplicando ambos os lados por dx e por 1 (ou seja, reorganizando),
\frac{1}{y}\,dy=\frac{1}{x(x+1)}\,dx.
Aviso importante: essa manipulação exige y\neq 0. A solução y\equiv 0 (identicamente zero) deve ser considerada separadamente — ela satisfaz a equação original porque 0=\dfrac{0}{x^{2}+x}.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Começamos integrando o lado direito. Para integrar \dfrac{1}{x(x+1)} usamos frações parciais. Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{x(x+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}.
Multiplicando por x(x+1) obtemos
1=A(x+1)+Bx=(A+B)x+A.
Comparando coeficientes: do termo em x vem A+B=0 e do termo constante vem A=1. Logo A=1 e B=-1. Assim
\frac{1}{x(x+1)}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}.

Passo 4

Integramos ambos os lados da igualdade \dfrac{1}{y}\,dy=\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x+1}\right)dx:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)dx.
Calculando as primitivas:
\int \frac{1}{y}\,dy=\ln|y| + C_{1},
\int\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}\right)dx = \ln|x| - \ln|x+1| + C_{2} = \ln\left|\frac{x}{x+1}\right| + C_{2}.
Igualando e reunindo constantes ( C=C_{2}-C_{1}) obtemos
\ln|y|=\ln\left|\frac{x}{x+1}\right| + C.

Passo 5

Exponenciando ambos os lados:
|y| = e^{C}\left|\frac{x}{x+1}\right|.
Como e^{C} é uma constante positiva, podemos escrever e^{C}=K com K>0. Eliminando o valor absoluto e permitindo constantes reais arbitrárias (positivas ou negativas), introduzimos uma constante \tilde{C}\in\mathbb{R} que absorve o sinal e o fator K. Assim a família geral de soluções (não identicamente nula) é
y(x)=\tilde{C}\,\frac{x}{x+1},
onde \tilde{C} é uma constante real arbitrária. Observação: a escolha \tilde{C}=0 recupera a solução y\equiv 0, então podemos unificar e dizer simplesmente y(x)=C\frac{x}{x+1} com C\in\mathbb{R}.

Passo 6

Discussão sobre domínio e singularidades: todas essas expressões usam divisões por x e por x+1, logo as soluções são válidas somente em intervalos em que x\neq 0 e x\neq -1. Ou seja, cada solução y(x)=C\frac{x}{x+1} é válida em qualquer intervalo que não contenha 0 nem -1 (por exemplo (-\infty,-1), (-1,0), (0,\infty), ou subintervalos desses). As constantes podem ser ajustadas separadamente em cada intervalo caso se queira soluções definidas em toda reta exceto os pontos singulares.

Passo 7

Verificação rápida: derivando y(x)=C\frac{x}{x+1},
y'(x)=C\cdot\frac{(x+1)-x}{(x+1)^{2}}=C\cdot\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Já o lado direito da EDO com essa y é
\frac{y}{x^{2}+x}=\frac{C\frac{x}{x+1}}{x(x+1)}=C\cdot\frac{1}{(x+1)^{2}}.
Ambos coincidem, então a solução está correta.

Resposta

y(x)=C\,\dfrac{x}{x+1},\; C\in\mathbb{R} (válido para x\neq 0 e x\neq -1).

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