Determine as soluções com valores iniciais das Equações diferenciais abaixo:
y^{\prime}=\frac{x^{2}}{y}, \quad y(-3)=2

Passo 1

O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial e pede a solução que satisfaça essa condição. Dados fornecidos e pedido:
y'=\frac{x^{2}}{y}
y(-3)=2
O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Identificamos que a equação permite separar variáveis (isto é, podemos colocar todos os termos com y de um lado e todos os termos com x do outro). A ideia de separação de variáveis é reescrever a equação na forma
g(y)\,dy = h(x)\,dx,
integrar ambos os lados e obter uma relação entre y e x com uma constante desconhecida. Depois usamos a condição inicial para determinar essa constante. Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Separe as variáveis na equação dada. Partindo de
y'=\frac{x^{2}}{y},
lembre que y'=\dfrac{dy}{dx}. Então escrevemos
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}.
Multiplicando ambos os lados por y\,dx (e supondo y\neq 0 onde fazemos a separação), obtemos
y\,dy = x^{2}\,dx.
Agora as variáveis estão separadas: tudo em y do lado esquerdo e tudo em x do lado direito.

Passo 4

Integre ambos os lados. Aplicamos a integral indefinida:
\int y\,dy = \int x^{2}\,dx.
Calcule cada integral: a integral de y em relação a y é \dfrac{y^{2}}{2}. A integral de x^{2} em relação a x é \dfrac{x^{3}}{3}. Portanto,
\frac{y^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração (uma constante real desconhecida que vamos achar com a condição inicial).

Passo 5

Simplifique a expressão para ficar mais “bonita” e isolada em y^{2}. Multiplicando ambos os lados por 2 temos
y^{2} = \frac{2}{3}x^{3} + C_{1},
onde C_{1}=2C é outra constante (só renomeamos para simplificar). Assim a família de soluções implícita é dada por essa relação entre y e x.

Passo 6

Use a condição inicial y(-3)=2 para determinar C_{1}. Substitua x=-3 e y=2 em
y^{2} = \frac{2}{3}x^{3} + C_{1}.
Calculando o termo \dfrac{2}{3}x^{3} em x=-3:
\frac{2}{3}(-3)^{3} = \frac{2}{3}(-27) = -18.
Então
2^{2} = 4 = -18 + C_{1}.
Logo
C_{1} = 4 + 18 = 22.

Passo 7

Substituindo C_{1}=22 na expressão geral obtemos
y^{2} = \frac{2}{3}x^{3} + 22.
Isolando y (lembrando que y pode ser a raiz positiva ou negativa), temos as soluções explícitas
y(x) = \pm\sqrt{\frac{2}{3}x^{3} + 22}.

Passo 8

Determine o sinal correto usando a condição inicial. Avaliando a expressão dentro da raiz em x=-3:
\frac{2}{3}(-3)^{3} + 22 = -18 + 22 = 4,
\sqrt{4} = 2.
Como a condição inicial exige y(-3)=2>0, escolhemos o ramo positivo. Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
y(x)=\sqrt{\frac{2}{3}x^{3}+22}.

Passo 9

Verifique o domínio máximo (onde a solução é válida como solução da EDO original). A equação original tem y no denominador, então só faz sentido enquanto y(x)\neq 0. A expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
\frac{2}{3}x^{3}+22 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3} \ge -33 \quad\Longrightarrow\quad x \ge -\sqrt[3]{33}.
Porém no ponto x=-\sqrt[3]{33} temos y=0 e a EDO y'=\dfrac{x^{2}}{y} não está definida (divisão por zero), então a solução como função diferenciável que satisfaz a EDO existe para
x> -\sqrt[3]{33}.
Note que o ponto inicial x=-3 satisfaz -3> -\sqrt[3]{33} (pois \sqrt[3]{33}\approx 3{,}207), portanto a solução encontrada é válida em um intervalo aberto contendo o ponto inicial, e por unicidade local essa é a solução única que satisfaz a condição inicial.

Resposta

y(x)=\sqrt{\frac{2}{3}x^{3}+22},\qquad x> -\sqrt[3]{33}

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