Determine as soluções com valores iniciais das Equações diferenciais abaixo:
Passo 1
O enunciado dá uma equação diferencial com condição inicial e pede a solução que satisfaça essa condição. Dados fornecidos e pedido:
O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Identificamos que a equação permite separar variáveis (isto é, podemos colocar todos os termos com
de um lado e todos os termos com
do outro). A ideia de separação de variáveis é reescrever a equação na forma
integrar ambos os lados e obter uma relação entre
e
com uma constante desconhecida. Depois usamos a condição inicial para determinar essa constante. Vou aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Separe as variáveis na equação dada. Partindo de
lembre que
. Então escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
(e supondo
onde fazemos a separação), obtemos
Agora as variáveis estão separadas: tudo em
do lado esquerdo e tudo em
do lado direito.
Passo 4
Integre ambos os lados. Aplicamos a integral indefinida:
Calcule cada integral: a integral de
em relação a
é
. A integral de
em relação a
é
. Portanto,
onde
é a constante de integração (uma constante real desconhecida que vamos achar com a condição inicial).
Passo 5
Simplifique a expressão para ficar mais “bonita” e isolada em
. Multiplicando ambos os lados por
temos
onde
é outra constante (só renomeamos para simplificar). Assim a família de soluções implícita é dada por essa relação entre
e
.
Passo 6
Use a condição inicial
para determinar
. Substitua
e
em
Calculando o termo
em
:
Então
Logo
Passo 7
Substituindo
na expressão geral obtemos
Isolando
(lembrando que
pode ser a raiz positiva ou negativa), temos as soluções explícitas
Passo 8
Determine o sinal correto usando a condição inicial. Avaliando a expressão dentro da raiz em
:
Como a condição inicial exige
, escolhemos o ramo positivo. Portanto a solução que satisfaz a condição inicial é
Passo 9
Verifique o domínio máximo (onde a solução é válida como solução da EDO original). A equação original tem
no denominador, então só faz sentido enquanto
. A expressão dentro da raiz deve ser não negativa:
Porém no ponto
temos
e a EDO
não está definida (divisão por zero), então a solução como função diferenciável que satisfaz a EDO existe para
Note que o ponto inicial
satisfaz
(pois
), portanto a solução encontrada é válida em um intervalo aberto contendo o ponto inicial, e por unicidade local essa é a solução única que satisfaz a condição inicial.