Determine as soluções das Equações diferenciais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial
Informações do enunciado que vamos usar:
- A incógnita é a função
. - A derivada de
em relação a é denotada por . - A expressão do lado direito é
. - Observe que o membro da direita não está definido em
(divisão por zero), então precisamos prestar atenção ao domínio das soluções.
Passo 2
Reescrevendo a equação em notação de derivada:
Aqui eu vou isolar os termos com
de um lado e os termos com
do outro — isto é, separar variáveis. Isso é permitido porque a expressão do lado direito é um produto/razão que pode ser reorganizado. Multiplico ambos os lados por
(desde que
; trataremos o caso
depois):
Explicando:
significa que todas as partes que dependem de
ficaram do lado esquerdo;
depende só de
.
Passo 3
Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
Vou usar a primitiva padrão
. Aqui, na integral da esquerda,
; na da direita,
. Aplicando as primitivas:
onde
é a constante de integração (a mesma constante pode ser tomada do lado direito depois de subtrair).
Passo 4
Explico o que essa igualdade significa e como manipular: a presença dos logaritmos com valor absoluto vem de
. Para eliminar o logaritmo, exponencio ambos os lados (usando
):
Chamo
. Note que
por construção, mas podemos absorver sinal numa constante arbitrária real
que pode ser positiva, negativa ou zero, obtendo a forma mais geral:
onde
é uma constante arbitrária. Expliquei: substituir
por
ou por um número negativo cobre todos os casos de sinal.
Passo 5
Isolando
na expressão acima:
Aqui
é a constante de integração que identifica cada solução particular. Essa é a família geral de soluções obtida pelo processo de separação de variáveis.
Passo 6
Verificação rápida (útil para a prova): calcule a derivada da solução proposta
e calcule o lado direito da equação original com essa
:
Portanto
e
, coincidem, então a solução está correta para
.
Passo 7
Caso particular importante: se
obtemos
, que é uma solução constante válida para todo
(inclusive
), porque substituindo
na equação original o numerador fica zero e a derivada da constante é zero. Para
as soluções
não são definidas na equação original em
(o membro direito da EDO não está definido em
), portanto cada solução com
é válida em intervalos que não contenham
.
Resposta
Observação: para
temos a solução global
. Para
a solução é válida em intervalos que não contêm
.