Determine as soluções das Equações diferenciais abaixo:
y^{\prime}=\frac{y-1}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial
y'=\frac{y-1}{x+3}.
Informações do enunciado que vamos usar:
  • A incógnita é a função y=x\mapsto y(x).
  • A derivada de y em relação a x é denotada por y'=\dfrac{dy}{dx}.
  • A expressão do lado direito é \dfrac{y-1}{x+3}.
  • Observe que o membro da direita não está definido em x=-3 (divisão por zero), então precisamos prestar atenção ao domínio das soluções.

Passo 2

Reescrevendo a equação em notação de derivada:
\frac{dy}{dx}=\frac{y-1}{x+3}.
Aqui eu vou isolar os termos com y de um lado e os termos com x do outro — isto é, separar variáveis. Isso é permitido porque a expressão do lado direito é um produto/razão que pode ser reorganizado. Multiplico ambos os lados por \dfrac{dx}{y-1} (desde que y\neq1; trataremos o caso y\equiv1 depois):
\frac{1}{y-1}\,dy=\frac{1}{x+3}\,dx.
Explicando: \dfrac{1}{y-1}\,dy significa que todas as partes que dependem de y ficaram do lado esquerdo; \dfrac{1}{x+3}\,dx depende só de x.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int \frac{1}{y-1}\,dy = \int \frac{1}{x+3}\,dx.
Vou usar a primitiva padrão \displaystyle \int \frac{1}{u}\,du = \ln|u| + C. Aqui, na integral da esquerda, u=y-1; na da direita, u=x+3. Aplicando as primitivas:
\ln|y-1| = \ln|x+3| + C,
onde C é a constante de integração (a mesma constante pode ser tomada do lado direito depois de subtrair).

Passo 4

Explico o que essa igualdade significa e como manipular: a presença dos logaritmos com valor absoluto vem de \int \frac{1}{u}\,du. Para eliminar o logaritmo, exponencio ambos os lados (usando e^{\ln(\cdot)}):
|y-1| = e^{\ln|x+3|+C} = e^{C}\,|x+3|.
Chamo K=e^{C}. Note que K>0 por construção, mas podemos absorver sinal numa constante arbitrária real A que pode ser positiva, negativa ou zero, obtendo a forma mais geral:
y-1 = A(x+3),
onde A\in\mathbb{R} é uma constante arbitrária. Expliquei: substituir A por 0 ou por um número negativo cobre todos os casos de sinal.

Passo 5

Isolando y na expressão acima:
y = 1 + A(x+3).
Aqui A é a constante de integração que identifica cada solução particular. Essa é a família geral de soluções obtida pelo processo de separação de variáveis.

Passo 6

Verificação rápida (útil para a prova): calcule a derivada da solução proposta
y'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(1 + A(x+3)\bigr)=A,
e calcule o lado direito da equação original com essa y:
\frac{y-1}{x+3}=\frac{A(x+3)}{x+3}=A\quad\text{(para \(x\neq-3\))}.
Portanto y'=A e \dfrac{y-1}{x+3}=A, coincidem, então a solução está correta para x\neq-3.

Passo 7

Caso particular importante: se A=0 obtemos y\equiv1, que é uma solução constante válida para todo x (inclusive x=-3), porque substituindo y=1 na equação original o numerador fica zero e a derivada da constante é zero. Para A\neq0 as soluções y=1+A(x+3) não são definidas na equação original em x=-3 (o membro direito da EDO não está definido em x=-3), portanto cada solução com A\neq0 é válida em intervalos que não contenham x=-3.

Resposta

y(x)=1+A(x+3),\quad A\in\mathbb{R}.
Observação: para A=0 temos a solução global y\equiv1. Para A\neq0 a solução é válida em intervalos que não contêm x=-3.

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