Determine as soluções das equações diferenciais exatas:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
Preciso determinar as soluções desta equação diferencial exata (a solução geral implícita). Informações relevantes fornecidas:
- A equação está escrita relacionando
e . - Os termos à direita e à esquerda são funções de
e . - Quero encontrar uma função
tal que seja a solução geral.
Passo 2
Organizo a equação na forma padrão
. Para isso subtraio o lado direito dos dois membros, obtendo
Logo posso tomar
e
Explicando: a equação
é a forma em que verificamos se existe uma função potencial
com
e
.
Passo 3
Vamos verificar a condição de exatidão. A equação é exata se
numa região adequada. Calculo as derivadas parciais:
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Como
, a condição de exatidão é satisfeita. Portanto existe uma função
tal que
e
.
Passo 4
Agora vou encontrar a função potencial
. Começo integrando
em relação a
, tratando
como constante:
Faço a integral termo a termo:
-
. -
(porque é constante em ). -
.
Somando e adicionando uma função arbitrária de
(pois ao integrar em
aparece uma constante que pode depender de
), obtenho
onde
é uma função que só depende de
.
Passo 5
Determino
impondo que
. Calculo
a partir da expressão encontrada:
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Assim:
Cancelam-se
e
de ambos os lados, sobrando
Integro em relação a
:
onde
é uma constante real.
Passo 6
Substituo
em
. Assim a função potencial fica
A solução geral da equação diferencial exata é dada pela relação implícita
constante. Podemos absorver
numa única constante arbitrária
. Portanto a família de curvas solução é
com
.