Determine as soluções das equações diferenciais exatas:
\left(x e^{y}+y-x^{2}\right) d y=\left(2 x y-e^{y}-x\right) d x x^{2} y-x e^{y}-\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=C

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\left(x e^{y}+y-x^{2}\right)\,dy=\left(2 x y-e^{y}-x\right)\,dx.
Preciso determinar as soluções desta equação diferencial exata (a solução geral implícita). Informações relevantes fornecidas:
  • A equação está escrita relacionando dx e dy.
  • Os termos à direita e à esquerda são funções de x e y.
  • Quero encontrar uma função \Phi(x,y) tal que \Phi(x,y)=C seja a solução geral.

Passo 2

Organizo a equação na forma padrão M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Para isso subtraio o lado direito dos dois membros, obtendo
(2 x y-e^{y}-x)\,dx-(x e^{y}+y-x^{2})\,dy=0.
Logo posso tomar
M(x,y)=2xy-e^{y}-x
e
N(x,y)=-\bigl(x e^{y}+y-x^{2}\bigr).
Explicando: a equação M\,dx+N\,dy=0 é a forma em que verificamos se existe uma função potencial \Phi com \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 3

Vamos verificar a condição de exatidão. A equação é exata se \partial M/\partial y=\partial N/\partial x numa região adequada. Calculo as derivadas parciais:
Derivando M em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy-e^{y}-x\bigr)=2x-e^{y}.
Derivando N em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(-x e^{y}-y+x^{2}\bigr)=-e^{y}+2x.
Como \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}=2x-e^{y}=\!-e^{y}+2x=\frac{\partial N}{\partial x}, a condição de exatidão é satisfeita. Portanto existe uma função \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 4

Agora vou encontrar a função potencial \Phi(x,y). Começo integrando M(x,y) em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y)=\int M(x,y)\,dx=\int\bigl(2xy-e^{y}-x\bigr)\,dx.
Faço a integral termo a termo:
  • \displaystyle \int 2xy\,dx = y\int 2x\,dx = y\cdot x^{2}.
  • \displaystyle \int -e^{y}\,dx = -x e^{y} (porque e^{y} é constante em x).
  • \displaystyle \int -x\,dx = -\frac{x^{2}}{2}.
Somando e adicionando uma função arbitrária de y (pois ao integrar em x aparece uma constante que pode depender de y), obtenho
\Phi(x,y)=x^{2}y-x e^{y}-\frac{x^{2}}{2}+H(y),
onde H(y) é uma função que só depende de y.

Passo 5

Determino H(y) impondo que \Phi_y=N. Calculo \Phi_y a partir da expressão encontrada:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=x^{2}-x e^{y}+H'(y).
Mas sabemos que \Phi_y deve ser igual a N(x,y)=-\bigl(x e^{y}+y-x^{2}\bigr). Assim:
x^{2}-x e^{y}+H'(y)=-x e^{y}-y+x^{2}.
Cancelam-se x^{2} e -x e^{y} de ambos os lados, sobrando
H'(y)=-y.
Integro em relação a y:
H(y)=-\frac{y^{2}}{2}+C_{0},
onde C_{0} é uma constante real.

Passo 6

Substituo H(y) em \Phi(x,y). Assim a função potencial fica
\Phi(x,y)=x^{2}y-x e^{y}-\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}+C_{0}.
A solução geral da equação diferencial exata é dada pela relação implícita \Phi(x,y)= constante. Podemos absorver C_{0} numa única constante arbitrária C. Portanto a família de curvas solução é
x^{2}y-x e^{y}-\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=C,
com C\in\mathbb{R}.

Resposta

x^{2}y-x e^{y}-\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{y^{2}}{2}=C

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