Determine as soluções das equações diferenciais exatas:
\left(3 x^{2} y^{2}+2 y\right) d x+\left(2 x^{3} y+2 x\right) d y=0 x^{3} y^{2}+2 x y=C

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(3 x^{2} y^{2}+2 y\right)\,dx+\left(2 x^{3} y+2 x\right)\,dy=0
e pede para determinar as soluções (a família de curvas implícitas que satisfazem essa equação).\n
Informações relevantes fornecidas:
M(x,y)=3 x^{2} y^{2}+2 y
N(x,y)=2 x^{3} y+2 x
Não há outras condições iniciais; buscamos a solução geral (constante arbitrária C).

Passo 2

Vamos verificar se a equação é do tipo que admite uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y),\qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y).
A condição para existência local de \Phi (condição de exatidão) é
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos as derivadas parciais passo a passo:
Derivando M em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(3 x^{2} y^{2}+2 y\big)=3 x^{2}\cdot 2y + 2 =6 x^{2} y+2.
Derivando N em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(2 x^{3} y+2 x\big)=2\cdot 3 x^{2} y + 2 =6 x^{2} y+2.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}=6 x^{2} y+2,
a condição de exatidão está satisfeita. Portanto existe \Phi(x,y) cuja diferencial total é d\Phi=M\,dx+N\,dy. A solução geral virá de \Phi(x,y)=C.

Passo 3

Vamos encontrar \Phi(x,y) integrando M em relação a x e lembrando de adicionar uma função arbitrária de y (porque ao integrar em x a constante de integração pode depender de y).
Integração de M em x:
\Phi(x,y)=\int \big(3 x^{2} y^{2}+2 y\big)\,dx.
Trabalhando termo a termo:
\int 3 x^{2} y^{2}\,dx = y^{2}\int 3 x^{2}\,dx = y^{2}\,x^{3},
porque ao integrar em x tratamos y como constante. E
\int 2 y\,dx = 2y\int 1\,dx = 2xy.
Logo
\Phi(x,y)=x^{3}y^{2}+2xy + h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (a “constante” de integração que pode depender de y).

Passo 4

Agora determinamos h(y) exigindo que \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y). Calculemos \Phi_y:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y^{2}+2xy + h(y)\big)=2y x^{3}+2x + h'(y).
Essa derivada deve ser igual a N(x,y)=2 x^{3} y+2 x. Igualando:
2y x^{3}+2x + h'(y)=2 x^{3} y+2 x.
Subtraindo os termos iguais dos dois lados, obtemos
h'(y)=0.
Portanto h(y) é uma constante; podemos escrever h(y)=C (constante real).

Passo 5

Assim a função potencial é, até constante,
\Phi(x,y)=x^{3}y^{2}+2xy + C.
A solução implícita geral da equação diferencial é dada por \Phi(x,y)= constante. Eliminando a notação de C na expressão final, obtemos a família de curvas:
x^{3}y^{2}+2xy=C,
onde C é a constante arbitrária de integração.
Observação prática: essa é uma solução implícita. Se precisar da forma explícita y=y(x), para x\neq 0 você pode ver a equação como quadrática em y:
x^{3}y^{2}+2x y - C=0
e usar a fórmula de Bhaskara para y, lembrando de tratar o caso x=0 separadamente.

Resposta

x^{3}y^{2}+2xy=C

Exercícios relacionados