Determine as soluções das equações diferenciais exatas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar as soluções (a família de curvas implícitas que satisfazem essa equação).\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
Não há outras condições iniciais; buscamos a solução geral (constante arbitrária
).
Passo 2
Vamos verificar se a equação é do tipo que admite uma função potencial
tal que
A condição para existência local de
(condição de exatidão) é
Calculemos as derivadas parciais passo a passo:
Derivando
em relação a
:
Derivando
em relação a
:
Como
a condição de exatidão está satisfeita. Portanto existe
cuja diferencial total é
. A solução geral virá de
.
Passo 3
Vamos encontrar
integrando
em relação a
e lembrando de adicionar uma função arbitrária de
(porque ao integrar em
a constante de integração pode depender de
).
Integração de
em
:
Trabalhando termo a termo:
porque ao integrar em
tratamos
como constante. E
Logo
onde
é uma função arbitrária de
(a “constante” de integração que pode depender de
).
Passo 4
Agora determinamos
exigindo que
. Calculemos
:
Essa derivada deve ser igual a
. Igualando:
Subtraindo os termos iguais dos dois lados, obtemos
Portanto
é uma constante; podemos escrever
(constante real).
Passo 5
Assim a função potencial é, até constante,
A solução implícita geral da equação diferencial é dada por
constante. Eliminando a notação de
na expressão final, obtemos a família de curvas:
onde
é a constante arbitrária de integração.
Observação prática: essa é uma solução implícita. Se precisar da forma explícita
, para
você pode ver a equação como quadrática em
:
e usar a fórmula de Bhaskara para
, lembrando de tratar o caso
separadamente.