Determine as soluções das equações diferenciais exatas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar as soluções (a família de curvas implícitas que resolvem a equação).
Informações relevantes que temos: as funções coeficientes são
Informações relevantes que temos: as funções coeficientes são
e
O objetivo final é encontrar uma função
tal que
seja a solução geral da equação dada.
Passo 2
Explicando o método (com calma): uma equação do tipo
é chamada de exata se existe uma função
(chamada função potencial) tal que
Isto significa que devemos ter
Um teste prático e simples para verificar exatidão (quando
e
têm derivadas parciais contínuas) é comparar as derivadas mistas:
Se forem iguais, a equação é exata e existe
tal que
é a solução implícita.
Passo 3
Calculemos
. Lembre que
. O termo
é independente de
, então sua derivada é zero. Para
usamos a regra do produto: derivative of
times
mais
vezes derivative of
em relação a
. Em símbolos,
Como
, obtemos
Passo 4
Agora calculemos
. Temos
. O termo
é independente de
, então sua derivada é zero. Para
aplicamos novamente a regra do produto:
Como
, isto dá
Passo 5
Comparando os resultados dos passos anteriores vemos que
Portanto a equação é exata. Isso garante a existência de uma função
tal que
e
. O próximo passo é encontrar
.
Passo 6
Para achar
integramos
em relação a
, tratando
como constante:
Integramos termo a termo. Primeiro,
Agora
: aqui
é constante, então podemos fazer a substituição
. Então
, e
Portanto a integral dá
onde
é uma “constante” de integração que pode depender de
(porque ao integrar em
ignoramos funções puramente em
).
Passo 7
Agora determinamos
exigindo que
. Diferenciando
em relação a
:
Como
não depende de
, sua derivada é zero. Para
usamos a regra da cadeia:
Logo
Mas sabemos que
deve ser igual a
. Igualando,
Cancelando
dos dois lados obtemos
Passo 8
Integramos
em relação a
:
onde
é uma constante. Podemos absorver
na constante final da solução implícita. Assim a função potencial completa é
Passo 9
A solução geral da equação diferencial exata é dada por
constante. Eliminando a constante arbitrária adicionada, escrevemos a solução implícita final como
onde
é uma constante real arbitrária. (Se quiser, pode verificar diferenciando essa expressão:
, que é exatamente a equação dada.)