Determine as soluções das equações diferenciais exatas:
(2 x+y \cos (x y)) d x+(x \cos (x y)+ 2 y) d y=0 x^{2}+\sin (x y)+y^{2}=C

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2x + y\cos(xy))\,dx + (x\cos(xy) + 2y)\,dy = 0
e pede para determinar as soluções (a família de curvas implícitas que resolvem a equação).
Informações relevantes que temos: as funções coeficientes são
M(x,y) = 2x + y\cos(xy)
e
N(x,y) = x\cos(xy) + 2y.
O objetivo final é encontrar uma função \Phi(x,y) tal que \Phi(x,y)=C seja a solução geral da equação dada.

Passo 2

Explicando o método (com calma): uma equação do tipo
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
é chamada de exata se existe uma função \Phi(x,y) (chamada função potencial) tal que
d\Phi = \Phi_x\,dx + \Phi_y\,dy = M\,dx + N\,dy.
Isto significa que devemos ter
\Phi_x = M\quad\text{e}\quad \Phi_y = N.
Um teste prático e simples para verificar exatidão (quando M e N têm derivadas parciais contínuas) é comparar as derivadas mistas:
\frac{\partial M}{\partial y} \stackrel{?}{=} \frac{\partial N}{\partial x}.
Se forem iguais, a equação é exata e existe \Phi tal que \Phi(x,y)=C é a solução implícita.

Passo 3

Calculemos \partial M/\partial y. Lembre que M(x,y)=2x+y\cos(xy). O termo 2x é independente de y, então sua derivada é zero. Para y\cos(xy) usamos a regra do produto: derivative of y times \cos(xy) mais y vezes derivative of \cos(xy) em relação a y. Em símbolos,
\frac{\partial}{\partial y}\big(y\cos(xy)\big) = \cos(xy) + y\cdot\big(-\sin(xy)\big)\cdot\frac{\partial (xy)}{\partial y}.
Como \partial(xy)/\partial y = x, obtemos
\frac{\partial M}{\partial y} = \cos(xy) - x y \sin(xy).

Passo 4

Agora calculemos \partial N/\partial x. Temos N(x,y)=x\cos(xy)+2y. O termo 2y é independente de x, então sua derivada é zero. Para x\cos(xy) aplicamos novamente a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}\big(x\cos(xy)\big) = \cos(xy) + x\cdot\big(-\sin(xy)\big)\cdot\frac{\partial (xy)}{\partial x}.
Como \partial(xy)/\partial x = y, isto dá
\frac{\partial N}{\partial x} = \cos(xy) - x y \sin(xy).

Passo 5

Comparando os resultados dos passos anteriores vemos que
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x} = \cos(xy) - x y \sin(xy).
Portanto a equação é exata. Isso garante a existência de uma função \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N. O próximo passo é encontrar \Phi.

Passo 6

Para achar \Phi integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\Phi(x,y) = \int M(x,y)\,dx = \int \big(2x + y\cos(xy)\big)\,dx.
Integramos termo a termo. Primeiro,
\int 2x\,dx = x^2.
Agora \int y\cos(xy)\,dx: aqui y é constante, então podemos fazer a substituição u = xy. Então du = y\,dx, e
\int y\cos(xy)\,dx = \int \cos(u)\,du = \sin(u) = \sin(xy).
Portanto a integral dá
\Phi(x,y) = x^2 + \sin(xy) + h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y (porque ao integrar em x ignoramos funções puramente em y).

Passo 7

Agora determinamos h(y) exigindo que \Phi_y = N. Diferenciando \Phi em relação a y:
\Phi_y = \frac{\partial}{\partial y}\big(x^2\big) + \frac{\partial}{\partial y}\big(\sin(xy)\big) + h'(y).
Como x^2 não depende de y, sua derivada é zero. Para \sin(xy) usamos a regra da cadeia:
\frac{\partial}{\partial y}\sin(xy) = \cos(xy)\cdot\frac{\partial (xy)}{\partial y} = x\cos(xy).
Logo
\Phi_y = x\cos(xy) + h'(y).
Mas sabemos que \Phi_y deve ser igual a N(x,y)=x\cos(xy)+2y. Igualando,
x\cos(xy) + h'(y) = x\cos(xy) + 2y.
Cancelando x\cos(xy) dos dois lados obtemos
h'(y) = 2y.

Passo 8

Integramos h'(y)=2y em relação a y:
h(y) = \int 2y\,dy = y^2 + C_1,
onde C_1 é uma constante. Podemos absorver C_1 na constante final da solução implícita. Assim a função potencial completa é
\Phi(x,y) = x^2 + \sin(xy) + y^2 + C_1.

Passo 9

A solução geral da equação diferencial exata é dada por \Phi(x,y)= constante. Eliminando a constante arbitrária adicionada, escrevemos a solução implícita final como
x^2 + \sin(xy) + y^2 = C,
onde C é uma constante real arbitrária. (Se quiser, pode verificar diferenciando essa expressão: d\Phi = (2x + y\cos(xy))\,dx + (x\cos(xy) + 2y)\,dy, que é exatamente a equação dada.)

Resposta

\;x^{2}+\sin(xy)+y^{2}=C

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