- Determine as soluções das equações diferenciais homogêneas abaixo.
(c)
Passo 1
O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial dada por
Informações fornecidas e o que devemos encontrar:
- A equação é uma relação entre
, e as diferenciais . - A incógnita é
considerada função de : . - Queremos encontrar a solução geral (família de funções
que satisfazem a equação), possivelmente em forma implícita. - Observação prática: a equação envolve potências homogêneas de
e (graus semelhantes), então é provável que uma substituição do tipo seja útil. Não farei a substituição ainda; só estou listando o que o problema dá.
Passo 2
Vou transformar a equação para a forma tradicional
para poder aplicar uma técnica de resolução passo a passo.
Partindo de
divido por
(assumindo
) para obter
Isolo
:
Aqui cada termo é homogêneo de grau
(isto é, se
e
forem multiplicados por um fator
, cada termo escala como
). Quando isso acontece, a substituição
costuma simplificar a equação porque transforma a razão
numa única variável
.
Explico a substituição e a relação com a derivada:
- Defino
, ou seja . - Derivo ambos os lados em relação a
: usando a regra do produto
Essa identidade é útil para substituir
na equação.
Passo 3
Faço a substituição
na razão do lado direito:
Calculo cada parte explicitamente:
Substituindo:
Portanto a equação diferencial torna-se, usando
,
Passo 4
Simplifico a equação para obter uma equação em
e
que possamos separar:
Faço a subtração no lado direito com cuidado:
Logo obtemos a equação simples
Esta é uma equação separável: posso escrever todos os termos em
de um lado e os termos em
do outro.
Passo 5
Separo as variáveis:
Agora integro ambos os lados. Explico cada integral:
-
é uma integral polinomial simples; a primitiva é . -
é a integral clássica do logaritmo; a primitiva é .
Integro:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Multiplico por
e volto à variável original
, lembrando
:
onde
é outra constante arbitrária. Substituo
:
Multiplico por
para escrever de forma mais explícita:
Podemos também reescrever com uma constante
qualquer:
Observações sobre domínio e soluções singulares:
- A dedução usou divisões por
e logaritmo de , portanto a solução geral obtida é válida apenas para . Devemos considerar soluções locais em intervalos onde ou . - Não existem soluções com
constante (isto é, com constante), porque ao supor constante a equação reduzida daria , impossível. Assim não há retas através da origem como solução. - Não há outras soluções singulares óbvias além da restrição
(a equação original é singular em ).
Passo 7
Resumo prático para decorar a técnica (dica para a prova):
- Se
tem e homogêneos do mesmo grau, experimente . - Use
, transforme e procure separar variáveis. - Integre e volte para
.