1. Determine as soluções das equações diferenciais homogêneas abaixo.
(c) \left(x^{3}+y^{3}\right) d x-x y^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial dada por
\left(x^{3}+y^{3}\right)\,dx - x y^{2}\,dy = 0.
Informações fornecidas e o que devemos encontrar:
  • A equação é uma relação entre x, y e as diferenciais dx,dy.
  • A incógnita é y considerada função de x: y=y(x).
  • Queremos encontrar a solução geral (família de funções y(x) que satisfazem a equação), possivelmente em forma implícita.
  • Observação prática: a equação envolve potências homogêneas de x e y (graus semelhantes), então é provável que uma substituição do tipo y=ux seja útil. Não farei a substituição ainda; só estou listando o que o problema dá.

Passo 2

Vou transformar a equação para a forma tradicional \dfrac{dy}{dx}=\cdots para poder aplicar uma técnica de resolução passo a passo.
Partindo de
\left(x^{3}+y^{3}\right)\,dx - x y^{2}\,dy = 0,
divido por dx (assumindo dx\neq0) para obter
x^{3}+y^{3} - x y^{2}\,\frac{dy}{dx}=0.
Isolo \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx}=\frac{x^{3}+y^{3}}{x y^{2}}.
Aqui cada termo é homogêneo de grau 3 (isto é, se x e y forem multiplicados por um fator t, cada termo escala como t^{3}). Quando isso acontece, a substituição y=ux costuma simplificar a equação porque transforma a razão y/x numa única variável u.
Explico a substituição e a relação com a derivada:
  • Defino u(x)=\dfrac{y(x)}{x}, ou seja y=ux.
  • Derivo ambos os lados em relação a x: usando a regra do produto
\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}.
Essa identidade é útil para substituir \dfrac{dy}{dx} na equação.

Passo 3

Faço a substituição y=ux na razão do lado direito:
\frac{x^{3}+y^{3}}{x y^{2}}=\frac{x^{3}+(ux)^{3}}{x\,(ux)^{2}}.
Calculo cada parte explicitamente:
(ux)^{3}=u^{3}x^{3},\qquad (ux)^{2}=u^{2}x^{2}.
Substituindo:
\frac{x^{3}+u^{3}x^{3}}{x\cdot u^{2}x^{2}}=\frac{x^{3}(1+u^{3})}{x^{3}u^{2}}=\frac{1+u^{3}}{u^{2}}.
Portanto a equação diferencial torna-se, usando \dfrac{dy}{dx}=u+x\dfrac{du}{dx},
u + x\frac{du}{dx} = \frac{1+u^{3}}{u^{2}}.

Passo 4

Simplifico a equação para obter uma equação em u e x que possamos separar:
x\frac{du}{dx} = \frac{1+u^{3}}{u^{2}} - u.
Faço a subtração no lado direito com cuidado:
\frac{1+u^{3}}{u^{2}} - u = \frac{1+u^{3} - u^{3}}{u^{2}} = \frac{1}{u^{2}}.
Logo obtemos a equação simples
x\frac{du}{dx}=\frac{1}{u^{2}}.
Esta é uma equação separável: posso escrever todos os termos em u de um lado e os termos em x do outro.

Passo 5

Separo as variáveis:
u^{2}\,du = \frac{dx}{x}.
Agora integro ambos os lados. Explico cada integral:
  • \int u^{2}\,du é uma integral polinomial simples; a primitiva é \dfrac{u^{3}}{3}.
  • \int \dfrac{dx}{x} é a integral clássica do logaritmo; a primitiva é \ln|x|.
Integro:
\int u^{2}\,du = \int \frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \frac{u^{3}}{3} = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Multiplico por 3 e volto à variável original y, lembrando u=\dfrac{y}{x}:
u^{3} = 3\ln|x| + C_{1},
onde C_{1}=3C é outra constante arbitrária. Substituo u=(y/x):
\left(\frac{y}{x}\right)^{3} = 3\ln|x| + C_{1}.
Multiplico por x^{3} para escrever de forma mais explícita:
y^{3} = x^{3}\bigl(3\ln|x| + C_{1}\bigr).
Podemos também reescrever com uma constante C qualquer:
\frac{y^{3}}{x^{3}} - 3\ln|x| = C.
Observações sobre domínio e soluções singulares:
  • A dedução usou divisões por x e logaritmo de |x|, portanto a solução geral obtida é válida apenas para x\neq0. Devemos considerar soluções locais em intervalos onde x>0 ou x<0.
  • Não existem soluções com u constante (isto é, y=kx com k constante), porque ao supor u= constante a equação reduzida daria 0=1/u^{2}, impossível. Assim não há retas através da origem como solução.
  • Não há outras soluções singulares óbvias além da restrição x\neq0 (a equação original é singular em x=0).

Passo 7

Resumo prático para decorar a técnica (dica para a prova):
  • Se M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0 tem M e N homogêneos do mesmo grau, experimente y=ux.
  • Use \dfrac{dy}{dx}=u+x\,\dfrac{du}{dx}, transforme e procure separar variáveis.
  • Integre e volte para y.

Resposta

\displaystyle y^{3}=x^{3}\bigl(3\ln|x|+C\bigr)

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