1. Determine as soluções das equações diferenciais homogêneas abaixo.
(a) (x-y) d x+x d y=0

Passo 1

O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial homogênea dada por
(x-y)\,dx + x\,dy = 0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação está na forma diferencial exata \,M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0\, com M(x,y)=x-y e N(x,y)=x.
  • É uma equação de primeira ordem (envolve dx e dy apenas).
  • O objetivo é encontrar a família de curvas y(x) que satisfazem essa relação (a solução geral).

Passo 2

Vamos verificar a propriedade de homogeneidade (isso explica por que a substituição clássica funciona). Uma função F(x,y) é homogênea de grau k se para todo \lambda vale F(\lambda x,\lambda y)=\lambda^{k}F(x,y).
Aqui:
M(x,y)=x-y, \qquad N(x,y)=x.
Se multiplicarmos (x,y) por \lambda:
M(\lambda x,\lambda y)=\lambda x-\lambda y=\lambda (x-y), \qquad N(\lambda x,\lambda y)=\lambda x.
Ambas são homogêneas de grau 1. Quando M e N são homogêneas do mesmo grau, a substituição
y = v x \quad\text{(ou seja, }v=\tfrac{y}{x}\text{)}
transforma a equação numa equação separável em v e x. É por isso que escolhemos essa substituição.

Passo 3

Primeiro colocamos a equação na forma dy/dx=\dots. A partir de
(x-y)\,dx + x\,dy = 0
dividindo por dx (assumindo dx\neq0) obtemos
x-y + x\frac{dy}{dx}=0.
Isolando \dfrac{dy}{dx}:
\frac{dy}{dx} = -\frac{x-y}{x}.
Simplificando o lado direito:
\frac{dy}{dx} = -\left(1 - \frac{y}{x}\right) = -1 + \frac{y}{x}.

Passo 4

Agora fazemos a substituição y = v x, onde v é função de x. Calculamos dy/dx em termos de v:
y = v x \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Substituindo na expressão obtida em

Passo 5

v + x\frac{dv}{dx} = -1 + \frac{y}{x}.
Mas \dfrac{y}{x}=v, então o v cancela:
v + x\frac{dv}{dx} = -1 + v \quad\Longrightarrow\quad x\frac{dv}{dx} = -1.

Passo 6

A equação para v ficou simples e separável:
\frac{dv}{dx} = -\frac{1}{x}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
\int dv = \int -\frac{1}{x}\,dx.
A integral do lado esquerdo é v. A integral do lado direito é -\ln|x| + C (lembrando o valor absoluto porque \ln exige argumento positivo). Assim:
v = -\ln|x| + C,
onde C é a constante de integração. Voltando à variável original, v=\dfrac{y}{x}, obtemos
\frac{y}{x} = C - \ln|x|.
Multiplicando por x para escrever explicitamente y:
y = Cx - x\ln|x|.

Passo 7

Observações finais (úteis na prova):
  • A solução geral é y = Cx - x\ln|x| com C\in\mathbb{R}.
  • O processo exigiu x\neq0 porque usamos a substituição v=y/x e apareceu \ln|x|; assim a solução é válida para x\neq0. Em problemas de prova vale comentar o domínio: soluções definidas em intervalos onde x não muda de sinal.
  • Verificação rápida: derivando y=Cx - x\ln|x| \dfrac{dy}{dx}=C - \ln|x| -1. Calculando -\dfrac{x-y}{x} com y acima volta-se a mesma expressão — isso confirma que a solução está correta.
  • A constante pode ser renomeada (por exemplo C_1); é a família de soluções gerais.

Resposta

y = Cx - x\ln|x|,\quad C\in\mathbb{R}

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