- Determine as soluções das equações diferenciais homogêneas abaixo.
(a)
Passo 1
O enunciado pede: determinar as soluções da equação diferencial homogênea dada por
Informações relevantes fornecidas:
- A equação está na forma diferencial exata
com e . - É uma equação de primeira ordem (envolve
e apenas). - O objetivo é encontrar a família de curvas
que satisfazem essa relação (a solução geral).
Passo 2
Vamos verificar a propriedade de homogeneidade (isso explica por que a substituição clássica funciona). Uma função
é homogênea de grau
se para todo
vale
.
Aqui:
Se multiplicarmos
por
:
Ambas são homogêneas de grau
. Quando
e
são homogêneas do mesmo grau, a substituição
transforma a equação numa equação separável em
e
. É por isso que escolhemos essa substituição.
Passo 3
Primeiro colocamos a equação na forma
. A partir de
dividindo por
(assumindo
) obtemos
Isolando
:
Simplificando o lado direito:
Passo 4
Agora fazemos a substituição
, onde
é função de
. Calculamos
em termos de
:
Substituindo na expressão obtida em
Passo 5
Mas
, então o
cancela:
Passo 6
A equação para
ficou simples e separável:
Integramos ambos os lados em relação a
:
A integral do lado esquerdo é
. A integral do lado direito é
(lembrando o valor absoluto porque
exige argumento positivo). Assim:
onde
é a constante de integração. Voltando à variável original,
, obtemos
Multiplicando por
para escrever explicitamente
:
Passo 7
Observações finais (úteis na prova):
- A solução geral é
com . - O processo exigiu
porque usamos a substituição e apareceu ; assim a solução é válida para . Em problemas de prova vale comentar o domínio: soluções definidas em intervalos onde não muda de sinal. - Verificação rápida: derivando
dá . Calculando com acima volta-se a mesma expressão — isso confirma que a solução está correta. - A constante pode ser renomeada (por exemplo
); é a família de soluções gerais.