Nos Exercícios de 1 a 28 , ache \frac{d y}{d x} por derivação implícita.
  1. x^{2}+y^{2}=16
  2. x^{3}+y^{3}=8 x y

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede para cada item (não vou resolver ainda).
  • Problema 1: dada a equação \,x^{2}+y^{2}=16, pede-se encontrar \dfrac{d y}{d x}.
  • Problema 3: dada a equação \,x^{3}+y^{3}=8 x y, pede-se encontrar \dfrac{d y}{d x}.
Informações relevantes fornecidas: em ambos os casos y é uma função de x dada implicitamente pela equação; não foram fornecidos valores numéricos específicos de x ou y.

Passo 2

Explicação do método que vou usar (passo a passo do raciocínio que você deve aplicar na prova).
  • Quando y está definida implicitamente por uma equação envolvendo x e y, a forma padrão de achar \dfrac{d y}{d x} é diferenciar ambos os lados da equação em relação a x, tratando y como função de x (ou seja, y=y(x)).
  • Regra importante: ao derivar uma expressão que contém y, usa-se a regra da cadeia. Por exemplo, a derivada de \,y^{n} em relação a x é \dfrac{d}{d x}\bigl(y^{n}\bigr)=n\,y^{\,n-1}\dfrac{d y}{d x}. Aqui \dfrac{d y}{d x} representa a derivada de y em relação a x.
  • Outra regra que vamos usar é a regra do produto: \dfrac{d}{d x}(u v)=u'\,v+u\,v', onde u'=du/dx e v'=dv/dx.
  • Depois de diferenciar, agrupamos todos os termos que contém \dfrac{d y}{d x} num mesmo lado da igualdade e isolamos \dfrac{d y}{d x} para obter a expressão final.
Agora aplico esse procedimento aos dois problemas, mostrando cada etapa.

Passo 3

Resolução detalhada do Problema 1.
Dada \,x^{2}+y^{2}=16. Derivo ambos os lados em relação a x.
A derivada de \,x^{2} em relação a x é \,2x.
A derivada de \,y^{2} em relação a x usa a regra da cadeia: \dfrac{d}{d x}\bigl(y^{2}\bigr)=2y\,\dfrac{d y}{d x}.
A derivada do lado direito \,16 (constante) é 0.
Portanto, após derivar:
2x+2y\,\dfrac{d y}{d x}=0
Agora isolo \dfrac{d y}{d x}. Subtraio 2x e depois divido por 2y:
2y\,\dfrac{d y}{d x}=-2x
\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{-2x}{2y}
Simplificando os fatores 2:
\dfrac{d y}{d x}=-\dfrac{x}{y}
Comentário didático: a resposta significa que a inclinação da reta tangente à curva \,x^{2}+y^{2}=16 (um círculo de raio 4) no ponto (x,y) é -x/y. Note que essa fórmula só vale quando y\neq 0; se y=0 o denominador some e a tangente é vertical.

Passo 4

Pequeno exemplo ilustrativo (opcional para fixar a ideia).
Considere o ponto (x,y)=(3,\sqrt{7}) que satisfaz 3^{2}+(\sqrt{7})^{2}=9+7=16. A derivada nesse ponto é
\dfrac{d y}{d x}=-\dfrac{3}{\sqrt{7}}.
Isso significa que a tangente naquele ponto tem inclinação negativa e vale -3/\sqrt{7}.

Passo 5

Resolução detalhada do Problema 3.
Dada \,x^{3}+y^{3}=8 x y. Derivo ambos os lados em relação a x.
Derivadas termo a termo:
  • \dfrac{d}{d x}\bigl(x^{3}\bigr)=3x^{2}.
  • \dfrac{d}{d x}\bigl(y^{3}\bigr)=3y^{2}\dfrac{d y}{d x} pela regra da cadeia.
  • Para o lado direito, \dfrac{d}{d x}\bigl(8xy\bigr)=8\,\dfrac{d}{d x}(x y). Agora uso a regra do produto em x y:
\dfrac{d}{d x}(x y)=\dfrac{d}{d x}(x)\cdot y + x\cdot \dfrac{d}{d x}(y)=1\cdot y + x\cdot \dfrac{d y}{d x}=y + x\,\dfrac{d y}{d x}.
Multiplicando por 8 obtemos \,8y+8x\,\dfrac{d y}{d x}.
Juntando tudo:
3x^{2}+3y^{2}\dfrac{d y}{d x}=8y+8x\dfrac{d y}{d x}
Agora agrupo todos os termos que contêm \dfrac{d y}{d x} no mesmo lado e os demais no outro lado. Subtraio 8x\dfrac{d y}{d x} e subtraio 3x^{2}:
3y^{2}\dfrac{d y}{d x}-8x\dfrac{d y}{d x}=8y-3x^{2}
Fatoro \dfrac{d y}{d x} no lado esquerdo:
\bigl(3y^{2}-8x\bigr)\dfrac{d y}{d x}=8y-3x^{2}
Finalmente, isolo \dfrac{d y}{d x} dividindo ambos os lados por \,3y^{2}-8x:
\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{8y-3x^{2}}{3y^{2}-8x}
Comentário didático: atenção ao sinal do denominador; a expressão faz sentido enquanto 3y^{2}-8x\neq 0. Se esse denominador for zero em algum ponto da curva, a derivada pode ser infinita (tangente vertical) ou pode requerer análise adicional.

Passo 6

Resumo final rápido das formas das derivadas encontradas (para guardar na cabeça antes da prova).
  • Para \,x^{2}+y^{2}=16 ficou \dfrac{d y}{d x}=-\dfrac{x}{y}.
  • Para \,x^{3}+y^{3}=8xy ficou \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{8y-3x^{2}}{3y^{2}-8x}.
Força aí — pratique mais alguns implicitamente diferenciados e isso vai entrar na sua cabeça mais rápido do que parece!

Resposta

\dfrac{d y}{d x}=-\dfrac{x}{y}
\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{8y-3x^{2}}{3y^{2}-8x}

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