Nos Exercícios de 1 a 28 , ache
por derivação implícita.
-
-
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede para cada item (não vou resolver ainda).
- Problema 1: dada a equação
, pede-se encontrar . - Problema 3: dada a equação
, pede-se encontrar .
Informações relevantes fornecidas: em ambos os casos
é uma função de
dada implicitamente pela equação; não foram fornecidos valores numéricos específicos de
ou
.
Passo 2
Explicação do método que vou usar (passo a passo do raciocínio que você deve aplicar na prova).
- Quando
está definida implicitamente por uma equação envolvendo e , a forma padrão de achar é diferenciar ambos os lados da equação em relação a , tratando como função de (ou seja, ). - Regra importante: ao derivar uma expressão que contém
, usa-se a regra da cadeia. Por exemplo, a derivada de em relação a é . Aqui representa a derivada de em relação a . - Outra regra que vamos usar é a regra do produto:
, onde e . - Depois de diferenciar, agrupamos todos os termos que contém
num mesmo lado da igualdade e isolamos para obter a expressão final.
Agora aplico esse procedimento aos dois problemas, mostrando cada etapa.
Passo 3
Resolução detalhada do Problema 1.
Dada
. Derivo ambos os lados em relação a
.
A derivada de
em relação a
é
.
A derivada de
em relação a
usa a regra da cadeia:
.
A derivada do lado direito
(constante) é
.
Portanto, após derivar:
Agora isolo
. Subtraio
e depois divido por
:
Simplificando os fatores
:
Comentário didático: a resposta significa que a inclinação da reta tangente à curva
(um círculo de raio
) no ponto
é
. Note que essa fórmula só vale quando
; se
o denominador some e a tangente é vertical.
Passo 4
Pequeno exemplo ilustrativo (opcional para fixar a ideia).
Considere o ponto
que satisfaz
. A derivada nesse ponto é
Isso significa que a tangente naquele ponto tem inclinação negativa e vale
.
Passo 5
Resolução detalhada do Problema 3.
Dada
. Derivo ambos os lados em relação a
.
Derivadas termo a termo:
-
. -
pela regra da cadeia. - Para o lado direito,
. Agora uso a regra do produto em :
Multiplicando por
obtemos
.
Juntando tudo:
Agora agrupo todos os termos que contêm
no mesmo lado e os demais no outro lado. Subtraio
e subtraio
:
Fatoro
no lado esquerdo:
Finalmente, isolo
dividindo ambos os lados por
:
Comentário didático: atenção ao sinal do denominador; a expressão faz sentido enquanto
. Se esse denominador for zero em algum ponto da curva, a derivada pode ser infinita (tangente vertical) ou pode requerer análise adicional.
Passo 6
Resumo final rápido das formas das derivadas encontradas (para guardar na cabeça antes da prova).
- Para
ficou . - Para
ficou .
Força aí — pratique mais alguns implicitamente diferenciados e isso vai entrar na sua cabeça mais rápido do que parece!