1. Utilize o método do fator integrante para resolver as equações diferenciais.
(a) \frac{d y}{d x}+y=e^{3 x}

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{d y}{d x}+y=e^{3 x}
e pede para encontrar a solução geral y(x). Os dados relevantes são:
  • A equação diferencial da primeira ordem dada acima.
  • Não há condição inicial, portanto queremos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação numa forma padrão ajuda a organizar as ideias. A forma padrão é
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x),
onde P(x) e Q(x) são funções conhecidas de x. Aqui podemos identificar:
P(x)=1,\qquad Q(x)=e^{3x}.
Agora uma ideia central (passo-a-passo do método): vamos multiplicar a equação por uma função \mu(x) — chamada fator integrante — escolhida de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de \mu(x)\,y. A definição prática do fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Explicando o porquê: se \mu'(x)=\mu(x)P(x), então
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big)=\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu'(x)\,y=\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)\,y,
que é exatamente \mu(x) vezes o lado esquerdo da equação na forma padrão. Assim o lado esquerdo se torna uma derivada exata e a equação pode ser integrada diretamente.

Passo 3

Calcular o fator integrante usando P(x)=1:
\mu(x)=\exp\!\left(\int 1\,dx\right)=\exp(x)=e^{x}.
Então o fator integrante é \mu(x)=e^{x}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{x}. Isso dá
e^{x}\frac{dy}{dx}+e^{x}y=e^{x}\cdot e^{3x}=e^{4x}.
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada de e^{x}y. Ou seja,
\frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)=e^{4x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{x}y\big)\,dx=\int e^{4x}\,dx.
A integral à esquerda é simplesmente e^{x}y. A integral à direita é
\int e^{4x}\,dx=\frac{1}{4}e^{4x}+C,
onde C é a constante de integração. Logo obtemos
e^{x}y=\frac{1}{4}e^{4x}+C.

Passo 6

Isolar y dividindo por e^{x}:
y=\frac{1}{4}e^{4x}\cdot e^{-x}+C e^{-x}=\frac{1}{4}e^{3x}+C e^{-x}.
Esta é a solução geral. Uma interpretação útil: a solução é a soma de uma solução particular \dfrac{1}{4}e^{3x} (que gera o termo e^{3x} na equação) e da solução geral da equação homogênea associada \dfrac{dy}{dx}+y=0, que é C e^{-x}.

Passo 7

Checagem rápida (útil na prova): derivando a solução particular y_p=\dfrac{1}{4}e^{3x} \dfrac{dy_p}{dx}=\dfrac{3}{4}e^{3x}. Substituindo em \dfrac{dy}{dx}+y obtemos \dfrac{3}{4}e^{3x}+\dfrac{1}{4}e^{3x}=e^{3x}, que confere com o lado direito. Isso confirma que a solução encontrada está correta.

Resposta

y(x)=\frac{1}{4}e^{3x}+C e^{-x}

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