- Utilize o método do fator integrante para resolver as equações diferenciais.
(a)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede para encontrar a solução geral
. Os dados relevantes são:
- A equação diferencial da primeira ordem dada acima.
- Não há condição inicial, portanto queremos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Colocar a equação numa forma padrão ajuda a organizar as ideias. A forma padrão é
onde
e
são funções conhecidas de
. Aqui podemos identificar:
Agora uma ideia central (passo-a-passo do método): vamos multiplicar a equação por uma função
— chamada fator integrante — escolhida de modo que o lado esquerdo se torne a derivada de
. A definição prática do fator integrante é
Explicando o porquê: se
, então
que é exatamente
vezes o lado esquerdo da equação na forma padrão. Assim o lado esquerdo se torna uma derivada exata e a equação pode ser integrada diretamente.
Passo 3
Calcular o fator integrante usando
:
Então o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicar a equação original por
. Isso dá
Pela construção do fator integrante, o lado esquerdo é a derivada de
. Ou seja,
Passo 5
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral à esquerda é simplesmente
. A integral à direita é
onde
é a constante de integração. Logo obtemos
Passo 6
Isolar
dividindo por
:
Esta é a solução geral. Uma interpretação útil: a solução é a soma de uma solução particular
(que gera o termo
na equação) e da solução geral da equação homogênea associada
, que é
.
Passo 7
Checagem rápida (útil na prova): derivando a solução particular
dá
. Substituindo em
obtemos
, que confere com o lado direito. Isso confirma que a solução encontrada está correta.