Determine as soluções das equações diferenciais lineares de pr abaixo:
x y^{\prime}+x^{2} y=e^{-\frac{x^{2}}{2}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y'(x)+x^{2}y(x)=e^{-x^{2}/2}
e pede para determinar as soluções. Informações importantes que temos:
  • A equação está escrita com um fator x multiplicando y', portanto x=0 é um ponto singular da equação (não dá para dividir por zero ali).
  • Vamos procurar soluções em intervalos onde x\neq0 (por exemplo x>0 e x<0), porque só assim podemos dividir por x e obter a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem.
  • O que se pede é a solução geral y(x) (contendo uma constante de integração).

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por x (válido apenas para x\neq0):
y'(x)+x\,y(x)=\frac{e^{-x^{2}/2}}{x}.
Aqui identificamos a forma padrão
y'+p(x)y=q(x),
com p(x)=x e q(x)=\dfrac{e^{-x^{2}/2}}{x}.
Explicação didática do método (integradora): para uma equação y'+p(x)y=q(x) define-se o fator integrante (ou fator de integração)
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Multiplicando a equação por \mu(x) transformamos o lado esquerdo na derivada do produto \mu(x)y(x), o que facilita a integração.

Passo 3

Calcular o fator integrante. Como p(x)=x,
\int p(x)\,dx=\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2},
logo
\mu(x)=\exp\!\Big(\frac{x^{2}}{2}\Big)=e^{x^{2}/2}.
Multiplicando a equação padrão por \mu(x) obtemos
e^{x^{2}/2}y'(x)+x e^{x^{2}/2}y(x)=e^{x^{2}/2}\cdot\frac{e^{-x^{2}/2}}{x}.
Pelo produto da derivada, o lado esquerdo é exatamente
\frac{d}{dx}\big(y(x)e^{x^{2}/2}\big).
No lado direito, os exponenciais se cancelam:
e^{x^{2}/2}\cdot\frac{e^{-x^{2}/2}}{x}=\frac{1}{x}.
Portanto obtemos a equação simples
\frac{d}{dx}\big(y(x)e^{x^{2}/2}\big)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Integrar ambos os lados em relação a x. A integral do lado direito é
\int \frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,
onde C é constante de integração (uso o valor absoluto porque a primitiva de 1/x é \ln|x|). Assim
y(x)e^{x^{2}/2}=\ln|x|+C.
Observação didática: a constante C pode ser diferente em cada componente do domínio (por exemplo uma constante para x>0 e outra para x<0), porque não podemos atravessar x=0.

Passo 5

Isolar y(x) multiplicando por e^{-x^{2}/2}:
y(x)=e^{-x^{2}/2}\big(\ln|x|+C\big).
Podemos separar em solução particular e homogênea:
y(x)=e^{-x^{2}/2}\ln|x| + C\,e^{-x^{2}/2},
onde y_{h}(x)=C e^{-x^{2}/2} é a solução geral da equação homogênea associada.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular y' a partir de y=e^{-x^{2}/2}(\ln|x|+C) e substituir em x y'+x^{2}y. Usando a regra do produto e \dfrac{d}{dx}e^{-x^{2}/2}=-x e^{-x^{2}/2} e \dfrac{d}{dx}\ln|x|=1/x, obtém-se
x y' = -x^{2}e^{-x^{2}/2}(\ln|x|+C) + e^{-x^{2}/2},
e
x^{2}y = x^{2}e^{-x^{2}/2}(\ln|x|+C).
Somando os dois termos o termo com \ln|x|+C cancela e sobra exatamente
x y' + x^{2} y = e^{-x^{2}/2},
confirmando que a solução encontrada satisfaz a equação para x\neq0.

Passo 7

Observações finais sobre domínio e x=0:
  • A solução geral é válida apenas para x\neq0, isto é em intervalos onde o sinal de x é constante (como (0,\infty) e (-\infty,0)).
  • No ponto x=0 a equação original é inconsistente (substituindo x=0 obtém-se 0=1), logo não existe extensão contínua da solução passando por x=0.

Resposta

y(x)=e^{-x^{2}/2}\big(\ln|x|+C\big), com x\neq0 e C constante (constante pode ser diferente em cada intervalo onde x não muda de sinal).

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