Determine as soluções das equações diferenciais lineares de pr abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para determinar as soluções. Informações importantes que temos:
- A equação está escrita com um fator
multiplicando , portanto é um ponto singular da equação (não dá para dividir por zero ali). - Vamos procurar soluções em intervalos onde
(por exemplo e ), porque só assim podemos dividir por e obter a forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. - O que se pede é a solução geral
(contendo uma constante de integração).
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo ambos os lados por
(válido apenas para
):
Aqui identificamos a forma padrão
com
e
.
Explicação didática do método (integradora): para uma equação
define-se o fator integrante (ou fator de integração)
Multiplicando a equação por
transformamos o lado esquerdo na derivada do produto
, o que facilita a integração.
Passo 3
Calcular o fator integrante. Como
,
logo
Multiplicando a equação padrão por
obtemos
Pelo produto da derivada, o lado esquerdo é exatamente
No lado direito, os exponenciais se cancelam:
Portanto obtemos a equação simples
Passo 4
Integrar ambos os lados em relação a
. A integral do lado direito é
onde
é constante de integração (uso o valor absoluto porque a primitiva de
é
). Assim
Observação didática: a constante
pode ser diferente em cada componente do domínio (por exemplo uma constante para
e outra para
), porque não podemos atravessar
.
Passo 5
Isolar
multiplicando por
:
Podemos separar em solução particular e homogênea:
onde
é a solução geral da equação homogênea associada.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcular
a partir de
e substituir em
. Usando a regra do produto e
e
, obtém-se
e
Somando os dois termos o termo com
cancela e sobra exatamente
confirmando que a solução encontrada satisfaz a equação para
.
Passo 7
Observações finais sobre domínio e
:
- A solução geral é válida apenas para
, isto é em intervalos onde o sinal de é constante (como e ). - No ponto
a equação original é inconsistente (substituindo obtém-se ), logo não existe extensão contínua da solução passando por .