Determine as soluções das equações diferenciais de variáve abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para determinar as soluções da equação diferencial dada. A equação é
Ou seja: encontrar a família de funções
que satisfazem essa relação para todo
no domínio considerado. Não foi dada condição inicial, então vamos obter a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Observação sobre o tipo de equação e a estratégia: a equação é separável — isto é, dá para colocar todos os termos em
com
de um lado e todos os termos em
com
do outro. A vantagem desse método é que então podemos integrar cada lado em sua variável. Vou mostrar o porquê.
Começo reescrevendo o termo exponencial:
Lembrando que
, escrevo
Passo 3
Agora separo variáveis: coloco os fatores que dependem de
com
e os que dependem de
com
. Como
está multiplicando no lado direito, multiplico ambos os lados por
e por
para obter
Isso é válido porque
é sempre positivo (nunca zero), então não estamos dividindo por zero nem fazendo operação inválida.
Passo 4
Integro ambos os lados em relação às suas variáveis:
Aqui uso a regra básica de integração de exponencial:
. Aplicando isso:
Passo 5
Junto as constantes de integração (subtraio
e chamo o resultado de uma nova constante
). Assim:
onde
é uma constante real arbitrária (resultado da diferença
).
Multiplicando tudo por
para simplificar:
onde
é outra constante arbitrária real.
Passo 6
Agora resolvo explicitamente para
. Como
, tomo logaritmo natural dos dois lados (lembrando que isso impõe a condição de que o lado direito seja positivo):
Portanto
Observações importantes sobre a constante e o domínio:
- A constante
é um número real arbitrário, porém a expressão só faz sentido real quando . Essa desigualdade define o domínio de para cada valor de . - Não existe solução constante
, porque para todo reais; a derivada nunca é zero. - A forma implícita alternativa da solução é útil em alguns casos:
que é equivalente à expressão explícita acima e às vezes é preferida por não exigir tomar logaritmo.
Resposta
com
e restrição
.