Determine as soluções das equações diferenciais de variáve abaixo:
y^{\prime}=e^{x-2 y}

Passo 1

O enunciado pede para determinar as soluções da equação diferencial dada. A equação é
y' = e^{x-2y}.
Ou seja: encontrar a família de funções y(x) que satisfazem essa relação para todo x no domínio considerado. Não foi dada condição inicial, então vamos obter a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Observação sobre o tipo de equação e a estratégia: a equação é separável — isto é, dá para colocar todos os termos em y com dy de um lado e todos os termos em x com dx do outro. A vantagem desse método é que então podemos integrar cada lado em sua variável. Vou mostrar o porquê.
Começo reescrevendo o termo exponencial:
y' = e^{x-2y} = e^{x}\,e^{-2y}.
Lembrando que y'=\dfrac{dy}{dx}, escrevo
\frac{dy}{dx} = e^{x} e^{-2y}.

Passo 3

Agora separo variáveis: coloco os fatores que dependem de y com dy e os que dependem de x com dx. Como e^{-2y} está multiplicando no lado direito, multiplico ambos os lados por e^{2y} e por dx para obter
e^{2y}\,dy = e^{x}\,dx.
Isso é válido porque e^{2y} é sempre positivo (nunca zero), então não estamos dividindo por zero nem fazendo operação inválida.

Passo 4

Integro ambos os lados em relação às suas variáveis:
\int e^{2y}\,dy = \int e^{x}\,dx.
Aqui uso a regra básica de integração de exponencial: \int e^{a u}\,du = \dfrac{1}{a}e^{a u}+C. Aplicando isso:
\text{lado esquerdo: }\int e^{2y}\,dy = \frac{1}{2}e^{2y} + C_1, \qquad \text{lado direito: }\int e^{x}\,dx = e^{x} + C_2.

Passo 5

Junto as constantes de integração (subtraio C_2 e chamo o resultado de uma nova constante C). Assim:
\frac{1}{2}e^{2y} = e^{x} + C,
onde C é uma constante real arbitrária (resultado da diferença C_1-C_2).
Multiplicando tudo por 2 para simplificar:
e^{2y} = 2e^{x} + C_0,
onde C_0=2C é outra constante arbitrária real.

Passo 6

Agora resolvo explicitamente para y. Como e^{2y}>0, tomo logaritmo natural dos dois lados (lembrando que isso impõe a condição de que o lado direito seja positivo):
2y = \ln\!\bigl(2e^{x}+C_0\bigr).
Portanto
y(x) = \frac{1}{2}\ln\!\bigl(2e^{x}+C_0\bigr).
Observações importantes sobre a constante e o domínio:
  • A constante C_0 é um número real arbitrário, porém a expressão só faz sentido real quando 2e^{x}+C_0>0. Essa desigualdade define o domínio de x para cada valor de C_0.
  • Não existe solução constante y=\text{const}, porque y'=e^{x-2y}>0 para todo x,y reais; a derivada nunca é zero.
  • A forma implícita alternativa da solução é útil em alguns casos:
e^{2y}-2e^{x}=C_0,
que é equivalente à expressão explícita acima e às vezes é preferida por não exigir tomar logaritmo.

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}\ln\!\bigl(2e^{x}+C\bigr),
com C\in\mathbb{R} e restrição 2e^{x}+C>0.

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