Determine as soluções das equações diferenciais lineares de pr abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede: determinar as soluções (ou seja, a família geral de funções
que satisfazem essa equação). As informações relevantes são:
- a função incógnita é
; - a equação relaciona
e por ; - busca-se a solução geral (com constante arbitrária).
Passo 2
Vamos preparar a equação numa forma padrão para aplicar um método geral. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
Aqui identificamos
Método escolhido: fator integrante (integrating factor). É um método sistemático para equações da forma acima; explico a ideia passo a passo no próximo passo.
Passo 3
Explicando o fator integrante (aulas rápidas): para resolver
procura-se uma função
tal que, ao multiplicar a equação inteira por
, o lado esquerdo se torne a derivada de um produto
. Ou seja, queremos
Calculando
. Para que isso seja
é necessário que
. Essa é uma equação separável para
:
No nosso caso
, então
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Pelo raciocínio do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de
. Logo temos
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração (constante arbitrária real).
Passo 5
Isolando
, multiplicamos ambos os lados por
:
Portanto a família geral de soluções é
com
constante arbitrária.
Passo 6
Verificação (confirmação rápida): derivando a solução obtida,
Substituindo em
:
o que bate com o termo do lado direito da equação original. Tudo conferido.
Passo 7
(Observação didática alternativa) Método por coeficientes indeterminados para essa equação:
- Solução homogênea de
é . - Procura-se uma particular da forma
(porque o lado direito é ). Substituindo:
assim
. Somando
obtém-se a mesma resposta
.