Determine as soluções das equações diferenciais lineares de pr abaixo:
y^{\prime}-2 y=e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y' - 2y = e^{x},
e pede: determinar as soluções (ou seja, a família geral de funções y(x) que satisfazem essa equação). As informações relevantes são:
  • a função incógnita é y(x);
  • a equação relaciona y' e y por y' - 2y = e^{x};
  • busca-se a solução geral (com constante arbitrária).

Passo 2

Vamos preparar a equação numa forma padrão para aplicar um método geral. A forma padrão de uma equação linear de primeira ordem é
y' + p(x)\,y = q(x).
Aqui identificamos
p(x) = -2,\qquad q(x)=e^{x}.
Método escolhido: fator integrante (integrating factor). É um método sistemático para equações da forma acima; explico a ideia passo a passo no próximo passo.

Passo 3

Explicando o fator integrante (aulas rápidas): para resolver
y' + p(x)\,y = q(x),
procura-se uma função \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação inteira por \mu, o lado esquerdo se torne a derivada de um produto \mu(x)\,y(x). Ou seja, queremos
\mu(x)\bigl(y' + p(x)y\bigr) = \bigl(\mu(x)y\bigr)'.
Calculando \bigl(\mu y\bigr)' = \mu y' + \mu' y. Para que isso seja \mu(y'+p y) é necessário que \mu'=\mu p. Essa é uma equação separável para \mu:
\frac{\mu'}{\mu}=p(x)\quad\Rightarrow\quad \ln\mu = \int p(x)\,dx \quad\Rightarrow\quad \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
No nosso caso p(x)=-2, então
\mu(x)=e^{\int -2\,dx}=e^{-2x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{-2x}:
e^{-2x}y' -2e^{-2x}y = e^{-2x}e^{x}=e^{-x}.
Pelo raciocínio do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada de e^{-2x}y. Logo temos
\bigl(e^{-2x}y\bigr)' = e^{-x}.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \bigl(e^{-2x}y\bigr)'\,dx = \int e^{-x}\,dx \quad\Rightarrow\quad e^{-2x}y = -e^{-x} + C,
onde C é a constante de integração (constante arbitrária real).

Passo 5

Isolando y, multiplicamos ambos os lados por e^{2x}:
y = e^{2x}\bigl(-e^{-x} + C\bigr) = -e^{x} + C e^{2x}.
Portanto a família geral de soluções é
y(x)=C e^{2x}-e^{x},
com C constante arbitrária.

Passo 6

Verificação (confirmação rápida): derivando a solução obtida,
y' = 2C e^{2x} - e^{x}.
Substituindo em y' - 2y:
y' - 2y = \bigl(2C e^{2x}-e^{x}\bigr) - 2\bigl(C e^{2x}-e^{x}\bigr) = 2C e^{2x}-e^{x} -2C e^{2x}+2e^{x} = e^{x},
o que bate com o termo do lado direito da equação original. Tudo conferido.

Passo 7

(Observação didática alternativa) Método por coeficientes indeterminados para essa equação:
  • Solução homogênea de y'-2y=0 é y_h = K e^{2x}.
  • Procura-se uma particular da forma y_p = A e^{x} (porque o lado direito é e^{x}). Substituindo:
y_p' - 2y_p = A e^{x} - 2A e^{x} = -A e^{x} = e^{x}\\ \Rightarrow\\ A=-1,
assim y_p=-e^{x}. Somando y=y_h+y_p obtém-se a mesma resposta y=C e^{2x}-e^{x}.

Resposta

y(x)=C e^{2x}-e^{x},\quad C\in\mathbb{R}

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