Determine as soluções das equações diferenciais ordinárias homogêneas a seguir:
y^prime=x-3 y2 x+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo homogênea. Basicamente, uma equação homogênea tem o lado direito escrita como uma fração de funções que têm o mesmo grau em x e y. Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição v = yx, que simplifica a equação e facilita encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição v = yx. Isso significa que y = v cdot x. Agora, precisamos achar a derivada de y em relação a x, ou seja, y'.

Passo 3

Usando a regra do produto para derivar y = v cdot x, temos:
y' = v + x cdot dvdx
Então, y' é igual a v + x cdot dvdx.

Passo 4

Agora, vamos substituir y e y' na equação original. A equação fica:
v + x cdot dvdx = x - 3v x2x + v x
Podemos simplificar os termos:
v + x cdot dvdx = 1 - 3v2 + v

Passo 5

Isolando o x cdot dvdx:
x cdot dvdx = 1 - 3v2 + v - v
Vamos simplificar o lado direito:
x cdot dvdx = 1 - 3v - v(2 + v)2 + v = 1 - 3v - 2v - v^22 + v = 1 - 5v - v^22 + v

Passo 6

Agora temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis v e x:
2 + v1 - 5v - v^2 , dv = 1x , dx

Passo 7

Vamos integrar ambos os lados. A parte da esquerda pode ser simplificada fazendo uma fração parcial:
integral 2 + v1 - 5v - v^2 , dv = integral 1x , dx
Primeiro, rearranjamos o denominador:
1 - 5v - v^2 = -(v^2 + 5v - 1)
Então a integral fica:
integral -(2 + v)v^2 + 5v - 1 , dv = ln|x| + C

Passo 8

Resolvendo a integral do lado esquerdo, fazemos a substituição u = v^2 + 5v - 1, então du = (2v + 5) dv. Ajustando os termos, conseguimos uma expressão logarítmica.
Após integração e rearranjo, obtemos:
-ln|v^2 + 5v - 1| = ln|x| + C

Passo 9

Voltando à variável original v = yx, substituímos e rearranjamos para encontrar a solução geral:
ln|x| - ln|(yx)^2 + 5(yx) - 1| = C
Exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos:
x(yx)^2 + 5(yx) - 1 = K
onde K = e^C é uma constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
x(yx)^2 + 5(yx) - 1 = C
onde C é uma constante arbitrária.

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