Determine as soluções das equações diferenciais ordinárias homogêneas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que é do tipo homogênea. Basicamente, uma equação homogênea tem o lado direito escrita como uma fração de funções que têm o mesmo grau em e . Para resolver isso, vamos precisar usar a substituição , que simplifica a equação e facilita encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, fazemos a substituição . Isso significa que . Agora, precisamos achar a derivada de em relação a , ou seja, .
Passo 3
Usando a regra do produto para derivar , temos:
Então, é igual a .
Passo 4
Agora, vamos substituir e na equação original. A equação fica:
Podemos simplificar os termos:
Passo 5
Isolando o :
Vamos simplificar o lado direito:
Passo 6
Agora temos uma equação separável. Vamos separar as variáveis e :
Passo 7
Vamos integrar ambos os lados. A parte da esquerda pode ser simplificada fazendo uma fração parcial:
Primeiro, rearranjamos o denominador:
Então a integral fica:
Passo 8
Resolvendo a integral do lado esquerdo, fazemos a substituição , então . Ajustando os termos, conseguimos uma expressão logarítmica.
Após integração e rearranjo, obtemos:
Passo 9
Voltando à variável original , substituímos e rearranjamos para encontrar a solução geral:
Exponenciando ambos os lados para eliminar os logaritmos: