Determine as soluções das equações diferenciais ordinárias homogêneas a seguir:
y^prime=3 x-2 yx+y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária homogênea que temos aqui: $ y’ = \frac{3x - 2y}{x + y} $. A matéria que vamos usar é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente equações homogêneas. Precisamos identificar como simplificar essa equação para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a equação ser homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se podemos escrever a relação como uma função de $ \frac{y}{x} $. Então, vamos fazer uma substituição para facilitar: vamos definir $ v = \frac{y}{x} $. Isso significa que $ y = v \cdot x $.

Passo 3

Agora, vamos derivar $ y $ em relação a $ x $ usando a regra do produto:
y
Substituímos isso na equação original:
x

Passo 4

Simplificando o lado direito da equação:
3x - 2vxx(1 + v) = x(3 - 2v)x(1 + v) = 3 - 2v1 + v
Então, temos:
v + x cdot v' = 3 - 2v1 + v

Passo 5

Vamos isolar $ v’ $:
v'
x cdot v' = 3 - 2v1 + v - v
x cdot v' = 3 - 2v - v(1 + v)1 + v
x cdot v' = 3 - 2v - v - v^21 + v

Passo 6

Podemos fatorar o numerador:
3 - 3v - v^2 = -(v^2 + 3v - 3)
Mas para facilitar a integração, vamos rearranjar:
x cdot v' = -v^2 + 3v - 31 + v
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{1}{x} $:
1x

Passo 7

Agora, temos uma equação separável. Vamos rearranjar para separar as variáveis $ v $ e $ x $:
v

Passo 8

Vamos integrar ambos os lados:
integral 1 + vv^2 + 3v - 3 , dv = -integral 1x , dx

Passo 9

Primeiro, vamos simplificar a integral do lado esquerdo:
1 + vv^2 + 3v - 3 = Av + a + Bv + b
Após resolver, encontramos que:
integral 1 + vv^2 + 3v - 3 , dv = 12 ln|v^2 + 3v - 3|

Passo 10

A integral do lado direito é:
-integral 1x , dx = -ln|x| + C
Onde $ C $ é a constante de integração.

Passo 11

Igualando as integrais:
12 ln|v^2 + 3v - 3| = -ln|x| + C
Multiplicando ambos os lados por 2:
ln|v^2 + 3v - 3| = -2ln|x| + C'
Onde $ C’ = 2C $.

Passo 12

Aplicando propriedades dos logaritmos:
ln|v^2 + 3v - 3| = ln|x^-2| + C'
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
v^2 + 3v - 3 = K cdot x^-2
Onde $ K = e^{C’} $ é uma nova constante.

Passo 13

Lembrando que $ v = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
v = yx
Multiplicando tudo por $ x^2 $:
(yx)^2 + 3(yx) - 3 = Kx^2

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y^2 + 3xy - 3x^2 = C
Onde $ C $ é uma constante real.

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