Determine as soluções das equações diferenciais ordinárias homogêneas a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial ordinária homogênea que temos aqui: $ y’ = \frac{3x - 2y}{x + y} $. A matéria que vamos usar é Equações Diferenciais Ordinárias, especificamente equações homogêneas. Precisamos identificar como simplificar essa equação para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a equação ser homogênea. Uma equação diferencial é homogênea se podemos escrever a relação como uma função de $ \frac{y}{x} $. Então, vamos fazer uma substituição para facilitar: vamos definir $ v = \frac{y}{x} $. Isso significa que $ y = v \cdot x $.
Passo 3
Agora, vamos derivar $ y $ em relação a $ x $ usando a regra do produto:
Substituímos isso na equação original:
Passo 4
Simplificando o lado direito da equação:
Então, temos:
Passo 5
Vamos isolar $ v’ $:
Passo 6
Podemos fatorar o numerador:
Mas para facilitar a integração, vamos rearranjar:
Multiplicando ambos os lados por $ \frac{1}{x} $:
Passo 7
Agora, temos uma equação separável. Vamos rearranjar para separar as variáveis $ v $ e $ x $:
Passo 8
Vamos integrar ambos os lados:
Passo 9
Primeiro, vamos simplificar a integral do lado esquerdo:
Após resolver, encontramos que:
Passo 10
A integral do lado direito é:
Onde $ C $ é a constante de integração.
Passo 11
Igualando as integrais:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde $ C’ = 2C $.
Passo 12
Aplicando propriedades dos logaritmos:
Exponentiando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Onde $ K = e^{C’} $ é uma nova constante.
Passo 13
Lembrando que $ v = \frac{y}{x} $, substituímos de volta:
Multiplicando tudo por $ x^2 $:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde $ C $ é uma constante real.