Determine as soluções gerais das equações diferenciais ordinárias:
(2 x+3 y) d x+(2 y+3 x) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial na forma
(2x+3y),dx + (2y+3x),dy = 0
e pede a solução geral. Este é um caso clássico de equação diferencial exata, em que identificamos
M(x,y)=2x+3y, N(x,y)=2y+3x
e vamos verificar a exatidão e, em seguida, encontrar uma potencial F(x,y) tal que dF= M,dx+N,dy.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y =partialpartial y(2x+3y)=3, partial Npartial x =partialpartial x(2y+3x)=3
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata em todo R^2.

Passo 3

Sabendo que existe F(x,y) com
partial Fpartial x=M(x,y)=2x+3y,
integramos em relação a x:
F(x,y)=integral(2x+3y),dx =x^2+3xy + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 4

Impondo agora
partial Fpartial y =3x + h'(y) stackrel!=N(x,y)=2y+3x,
vemos que h'(y)=2y. Integramos em y:
h(y)=integral 2y,dy=y^2
Logo
F(x,y)=x^2+3xy+y^2

Passo 5

A solução geral da equação implícita é
F(x,y)=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

x^2 + 3xy + y^2 = C

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