Determine as soluções gerais das equações diferenciais ordinárias:
y^prime=x-yx+y

Passo 1

Temos a equação diferencial y' = x - yx + y. Ela é homogênea porque o numerador e o denominador são do mesmo grau em x e y. Para resolver, vamos usar a substituição y = u x, que transforma em uma equação de variáveis separáveis.

Passo 2

Definindo u = yx, temos
y' = u + xdudx
Substituindo em y' = x - yx + y e lembrando que y = ux, obtemos
u + xdudx = x - uxx + ux = 1 - u1 + u
Isolando dudx fica
xdudx = 1 - u1 + u - u = -u^2 + 2u - 11 + u,
ou seja
dudx = -u^2 + 2u - 1x(1 + u)

Passo 3

Agora separamos as variáveis. Reescrevendo,
1 + uu^2 + 2u - 1,du = -dxx
Integramos os dois lados:
integral 1 + uu^2 + 2u - 1,du = integral -dxx
Para o lado esquerdo, fazemos a troca t = u + 1, ficando dt = du e u^2 + 2u - 1 = t^2 - 2. A integral é
integral tt^2 - 2,dt = 12 lnl|t^2 - 2r| + C

Passo 4

Substituindo de volta t = u + 1 e igualando:
12 lnl|(u+1)^2 - 2r| = -ln|x| + C
Multiplicando por 2 e exponenciando, introduzimos constante geral C1, gerando
(u + 1)^2 - 2 = C1x^2
Voltando a u = y/x e multiplicando por x^2 chega-se à forma implícita

Passo 5

Substituindo u = yx em (u + 1)^2 - 2 = C1 x^-2 e multiplicando tudo por x^2, obtemos
(y + x)^2 - 2x^2 = C1,
que é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

(y + x)^2 - 2x^2 = C, com C constante arbitrária.

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