Determine as soluções gerais das equações diferenciais ordinárias:
Passo 1
Temos a equação diferencial . Ela é homogênea porque o numerador e o denominador são do mesmo grau em e . Para resolver, vamos usar a substituição , que transforma em uma equação de variáveis separáveis.
Passo 2
Definindo , temos
Substituindo em e lembrando que , obtemos
Isolando fica
ou seja
Passo 3
Agora separamos as variáveis. Reescrevendo,
Integramos os dois lados:
Para o lado esquerdo, fazemos a troca , ficando e . A integral é
Passo 4
Substituindo de volta t = u + 1 e igualando:
12 lnl|(u+1)^2 - 2r| = -ln|x| + C
Multiplicando por 2 e exponenciando, introduzimos constante geral C1, gerando
(u + 1)^2 - 2 = C1x^2
Voltando a u = y/x e multiplicando por x^2 chega-se à forma implícita
Passo 5
Substituindo u = yx em (u + 1)^2 - 2 = C1 x^-2 e multiplicando tudo por x^2, obtemos