Utilize coordenadas cilíndricas
integralegral triplaB(x^2+y^2)^2 d V, onde B é está entre as esferas x^2+y^2+z^2=4 e x^2+y^2+z^2=9.

Passo 1

O enunciado pede
I=integral triplaB(x^2+y^2)^2,dV
onde B é a casca esférica compreendida entre as esferas
x^2+y^2+z^2=4 e x^2+y^2+z^2=9
Vamos usar coordenadas cilíndricas
x=rcostheta, y=rsintheta, z=z,
em que
(x^2+y^2)^2=r^4, dV=r,dr,dtheta,dz

Passo 2

Note que a casca B é a bola de raio 3 menos a bola de raio 2. Logo
I =integral triplar^2+z^2<=9r^4,dV ;-;integral triplar^2+z^2<=4r^4,dV
Em coordenadas cilíndricas cada uma dessas integrais vale
integraltheta=0^2pi integralr=0^a integralz=-raiza^2-r^2^raiza^2-r^2 r^4,r,dz,dr,dtheta =4piintegral0^ar^5raiza^2-r^2;dr,
onde a=3 ou a=2.

Passo 3

Para
J(a)=integral0^ar^5raiza^2-r^2;dr
faça a mudança de variável
u=r^2a^2,
então r^2=a^2u, dr=a^22rdu. Isso dá
r^5,dr =;r^4,r,dr =(a^2u)^2,du2 =a^42,u^2,du
e
raiza^2-r^2 =araiz1-u
Logo
J(a) =integral0^ar^5raiza^2-r^2,dr =a^52,a^2 integral0^1u^2(1-u)^1/2,du =a^72,Bl(3,tfrac32r),
onde
B(3,tfrac32) =integral0^1u^2(1-u)^1/2du

Passo 4

Sabemos que
Bl(3,tfrac32r) =Gamma(3),Gamma(tfrac32)Gamma(tfrac92) =2cdot(tfracraizpi2)tfrac105raizpi16 =16105
Portanto
J(a) =a^72,16105 =8,a^7105
Em particular
J(3)=8cdot3^7105, J(2)=8cdot2^7105

Passo 5

Voltando a
I =4pil(J(3)-J(2)r) =4pi!l(8cdot3^7105-8cdot2^7105r) =4pi;8,(3^7-2^7)105 =32pi,(2187-128)105 =65888pi105

Resposta

boxed65888pi105

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