Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:
x^2 y^2 y^prime=1+x^2

Passo 1

Temos a equação diferencial de variáveis separáveis x^2y^2y' = 1+x^2. O conteúdo é separação de variáveis e integrações, e vamos precisar isolar as variáveis x e y em lados opostos para integrar.

Passo 2

Reescrevemos a derivada formando y' = dydx, o que dá
dydx = 1+x^2x^2y^2
Agora, separamos as variáveis passando os termos com y para o lado esquerdo e os com x para o direito:
y^2,dy = l(1x^2+1r),dx

Passo 3

Integramos ambos os lados:
integral y^2,dy = integral l(1x^2+1r),dx
Isso resulta em
y^33 = -1x + x + C

Passo 4

Multiplicamos por 3 e isolamos y:
y^3 = 3l(x - 1x + Cr)
Portanto,
y = raiz[3]3l(x - 1x + Cr)

Resposta

y = raiz[3]3l(x - 1x + Cr)

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