Nesta questão, o objetivo é calcular a derivada da função f(x)=1x no ponto x=2 a partir da definição de derivada.
Para isso, calcule o quociente de Newton f(x+h)-f(x)h e o limite lim h 0 f(x+h)-f(x)h para a função f(x)=1x no ponto x=2, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ no ponto $ x = 2 $ usando a definição de derivada. Para isso, vamos utilizar o quociente de Newton, que é $ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $, e depois calcular o limite quando $ h $ se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente a essa função naquele ponto. Usamos a definição de derivada para calcular isso quando não conhecemos a regra de derivação.

Passo 3

Vamos calcular $ f(2 + h) $. Substituindo $ x $ por $ 2 + h $ na função $ f(x) $:
f(2 + h)

Passo 4

Agora, vamos calcular $ f(2) $, que é simplesmente substituir $ x $ por 2 na função:
f(2)

Passo 5

Vamos montar o quociente de Newton substituindo $ f(2 + h) $ e $ f(2) $:
f(2 + h)

Passo 6

Para simplificar essa expressão, primeiro vamos encontrar um denominador comum para as frações no numerador:
12 + h - 12 = 2 - (2 + h)2(2 + h) = -h2(2 + h)
Então, o quociente fica:
-h2(2 + h) div h = -h2(2 + h) times 1h = -12(2 + h)

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando $ h $ se aproxima de zero:
h

Resposta

A derivada da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ no ponto $ x = 2 $ é $ f’(2) = -\frac{1}{4} $.

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