Nesta questão, o objetivo é calcular a derivada da função
no ponto
a partir da definição de derivada.
Para isso, calcule o quociente de Newton
e o limite
para a função
no ponto
, respectivamente.
Para isso, calcule o quociente de Newton
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ no ponto $ x = 2 $ usando a definição de derivada. Para isso, vamos utilizar o quociente de Newton, que é $ \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $, e depois calcular o limite quando $ h $ se aproxima de zero.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada. A derivada de uma função em um ponto nos dá a inclinação da reta tangente a essa função naquele ponto. Usamos a definição de derivada para calcular isso quando não conhecemos a regra de derivação.
Passo 3
Vamos calcular $ f(2 + h) $. Substituindo $ x $ por $ 2 + h $ na função $ f(x) $:
Passo 4
Agora, vamos calcular $ f(2) $, que é simplesmente substituir $ x $ por 2 na função:
Passo 5
Vamos montar o quociente de Newton substituindo $ f(2 + h) $ e $ f(2) $:
Passo 6
Para simplificar essa expressão, primeiro vamos encontrar um denominador comum para as frações no numerador:
Então, o quociente fica:
Passo 7
Agora, vamos calcular o limite dessa expressão quando $ h $ se aproxima de zero:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = \frac{1}{x} $ no ponto $ x = 2 $ é $ f’(2) = -\frac{1}{4} $.