Determine as soluções das equações diferenciais de variáveis separáveis abaixo:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de variáveis separáveis
y' = ycos x1+2y^2
Aqui vamos usar a técnica de separar as variáveis y e x e depois integrar cada lado.

Passo 2

Escrevendo y' = dydx e separando as variáveis, obtemos
1+2y^2y,dy = cos x,dx

Passo 3

Integramos cada membro:
integral1+2y^2y,dy = integralcos x,dx
No lado esquerdo,
1+2y^2y = 1y + 2y Longrightarrow integrall(1y + 2yr),dy = ln|y| + y^2
No lado direito,
integralcos x,dx = sin x + C
Logo a solução geral implícita é
ln|y| + y^2 = sin x + C

Passo 4

Além dessa família de soluções implícitas, note que yequiv0 também satisfaz a equação original (pois anula o numerador), sendo a solução trivial.

Resposta

Soluções gerais:
ln|y| + y^2 = sin x + C,
com C constante arbitrária,
e a solução trivial
y(x)equiv0

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